ข้อสอบ 7th TMO

[zzz123]

$f(x-t,y)+f(x+t,y)+f(x,y-t)+f(x,y+t)=2,010,t\not= 0 ----$*
แทน $x$ ด้วย $x+t$ ใน $*$
ได้ $f(x,y)+f(x+2t,y)+f(x+t,y-t)+f(x+t,y+t)=2,010 -----(1)$
แทน $x$ ด้วย $x-t$ ใน *
ได้ $f(x-2t,y)+f(x,y)+f(x-t,y-t)+f(x-t,y+t)=2,010 -----(2)$
แทน $y$ ด้วย $y+t$ ใน *
ได้ $f(x-t,y+t)+f(x+t,y+t)+f(x,y)+f(x,y+2t)=2,010 ----(3)$
แทน $y$ ด้วย $y-t$ ใน *
ได้ $f(x-t,y-t)+f(x+t,y-t)+f(x,y-2t),f(x,y)=2,010 ------(4)$
แต่ $(1)+(2)=(3)+(4)$ จะได้ว่า
$f(x+2t,y)+f(x-2t,y)=f(x,y+2t)+f(x,y-2t)------(5)$
แทน $ t\not= 0$ ด้วย $2t$ ใน *
$f(x-2t,y)+f(x+2t,y)+f(x,y-2t)+f(x,y+2t)=2,010 ----(6)$
ได้ $f(x+2t,y)+f(x-2t,y)=1,005-----(7)$ และ
$f(x,y+2t)+f(x,y-2t)=1,005-------(8)$
แทน $x=y=0$ ใน $(8)$
ได้ $f(0,2t)+f(0,-2t)=1,005$
แทน $2t\not=0$ ด้วย $t$ ใน สมการข้างบนจะได้
สำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ จะได้ว่า $f(0,t)+f(0,-t)=1,005----(9)$
แทน $x=0,y=2t$ ใน $(8)$
ได้ $f(0,4t)+f(0,0)=1,005$ แทน $4t\not=0$ ด้วย $-t$ ลงใน $(8)$
สำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ จะได้ว่า $f(0,-t)+f(0,0)=1,005----(10)$
จาก $(9),(10)$ จะได้ว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$
$f(0,t)=f(0,0)---(11)$ และในทำนองเดียวกันทำแบบเดียวกันกับสมการ$(7)$จะได้ว่าสำหรับ
ทุกจำนวนจริง $t\not=0$
$f(t,0)=f(0,0)---(12)$
ต่อไปจะแสดงว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ $f(x,y)=f(0,0)$
โดยแบ่งกรณีดังนี้
1.$x=0,y=0$
เห็นชัดเจน
2.$x=0,y\not=0$
จาก $(11)$ จะได้ว่า $f(0,y)=f(0,0)=f(x,y)$
3.$x\not=0,y=0$
จาก $(12)$ จะได้ว่า $f(x,0)=f(0,0)=f(x,y)$
4.$x\not=0,y\not=0$
จาก $(7),(8)$ แทน $2t\not=0$ ด้วย $t$
จะได้ว่า $f(x+t,y)+f(x-t,y)=1,005-----(13)$
$f(x,y+t)+f(x,y-t)=1,005-----(14)$
แทน $(x,y,t)$ ด้วย $(x,2y,x)$ ใน (13)
ได้ $f(2x,2y)+f(0,2y)=1,005----(15)$
จาก (10) ได้ว่า $f(0,t)+f(0,0)=0$
แทน $2y\not=0$ ด้วย $t$ ใน $(10)$
ได้ว่า $f(0,2y)+f(0,0)=1005----(16)$
จาก $(15),(16)$ จะได้ว่า $f(x,y)=f(0,0)$
จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องคือฟังก์ชันค่าคงตัว $f(x,y)=\frac{1005}{2}$
ปล1.มีผิดพลาดบอกด้วยนะครับ
ปล2.ปีนี้ไม่แจก Shortlisted ในพิธีปิดแบบปีก่อน อดโจทย์สวยๆเลย - -

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

นี่คือข้อสอบของปีนี้เหรอครับ

7. $a,b,c>0$ $$\dfrac{a^5}{bc^2}+\dfrac{b^5}{ca^2}+\dfrac{c^5}{ab^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

Solution 1:

$LHS = \dfrac{a^6}{abc^2}+\dfrac{b^6}{bca^2}+\dfrac{c^6}{cab^2}$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ Cauchy

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ power mean $(a^3+b^3+c^3)^2\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^3$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

$~~~~~~\geq a^2+b^2+c^2$ ใช้อสมการ $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$

Solution 2:

อสมการสมมูลกับ

$a^7b+b^7c+c^7a\geq a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$

จาก Weighted AM - GM

$a^4b^2c^2=(a^7b)^{23/43}(b^7c)^{9/43}(c^7a)^{11/43}$

$~~~~~~~~\leq \dfrac{23}{43}a^7b+\dfrac{9}{43}b^7c+\dfrac{11}{43}c^7a$

อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน บวกกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

Solution 3:

จาก Holder's inequality

$\displaystyle{\sum_{cyc}a^4=\sum_{cyc}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(a^2b^2c^4\Big)^{1/3}}$

$~~~~~~~~\displaystyle{\leq \sqrt[3]{\Big(\sum_{cyc}\frac{a^5}{bc^2}\Big)^2(a^2b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}}$

ดังนั้น

$LHS^2\geq \dfrac{(a^4+b^4+c^4)^3}{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$

$~~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^6}{27a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$ ใช้อสมการ power mean $a^4+b^4+c^4\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

$~~~~~~~\geq (a^2+b^2+c^2)^2$ ใช้อสมการ AM-GM $(a^2+b^2+c^2)^3\geq 27a^2b^2c^2$

ข้อนี้ผมใช้ Muirhead อ่ะครับ แต่กรรมการไม่ให้คะแนน เพราะเค้าไม่รู้จัก!!!

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ข้อนี้ผมใช้ Muirhead อ่ะครับ แต่กรรมการไม่ให้คะแนน เพราะเค้าไม่รู้จัก!!!

ผมว่าโจทย์ข้อนี้ใช้ Muirhead ไม่ได้ครับ เพราะอสมการมันไม่มีสมมาตร

ต้องเลี่ยงมาใช้ Weighted AM-GM ในวิธีที่สองแทน

[Juniors]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ข้อนี้ผมใช้ Muirhead อ่ะครับ แต่กรรมการไม่ให้คะแนน เพราะเค้าไม่รู้จัก!!!

กรรมการรู้จักอยู่แล้วครับ เด็กสมัยนี้เก่งกันจังเลย 555+

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมว่าโจทย์ข้อนี้ใช้ Muirhead ไม่ได้ครับ เพราะอสมการมันไม่มีสมมาตร

ต้องเลี่ยงมาใช้ Weighted AM-GM ในวิธีที่สองแทน

อะไรคือสมมาตรนั้นหรอครับ
แล้ว Muirhead นี้มันไม่ได้คล้ายๆกับ Solution 2 นี้หรอครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Solution 2:

อสมการสมมูลกับ

$a^7b+b^7c+c^7a\geq a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$

จาก Weighted AM - GM

$a^4b^2c^2=(a^7b)^{23/43}(b^7c)^{9/43}(c^7a)^{11/43}$

$~~~~~~~~\leq \dfrac{23}{43}a^7b+\dfrac{9}{43}b^7c+\dfrac{11}{43}c^7a$

อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน บวกกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

เริ่มสบสนขอความกระจ่างหน่อยสิครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ข้อนี้ผมใช้ Muirhead อ่ะครับ แต่กรรมการไม่ให้คะแนน เพราะเค้าไม่รู้จัก!!!

ใช้ตอนไหนครับ?
ถ้าอสมการไม่สมมาตรใ้ช้ Muirhead ไม่ได้นะครับ
...
เดี๋ยวว่างๆจะลองทำดูนะครับ ขอบคุณสำหรับโจทย์...ว่าแต่คนโพสนิได้เหรียญทองที่เท่าไหร่ินิคับ ทำได้เยอะจังเลยน่อ

[passer-by]

ข้อ 5 วันที่ 2 โจทย์สวยดีครับ

ถ้าลองเปลี่ยนมุมมองจากโจทย์ FE มาเป็น โจทย์เรขาคณิต ผสมพีชคณิต จะง่ายกว่าเดิมเยอะเลย

จริงๆ เงื่อนไขฟังก์ชัน ก็เหมือนเรา label จำนวนจริงให้จุดทุกจุดบนระนาบ XY โดย มีข้อแม้ว่า ผลบวกค่าที่ทุกจุดมุมของสี่เหลี่ยมรูปข้าวหลามตัดใดๆ ต้องเป็น 2010

ลองดูรูปข้างล่างประกอบครับ


รวมค่าตัวเลขของจุดมุมของข้าวหลามตัด 5 รูป (4 รูปเล็กกับ 1 รูปใหญ่) จะได้สมการ

2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+2e = (5)(2010)

(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+e = (5)(1005)

(a+b+d+e)+(e+f+h+i) +(c+g) = 5025

ดังนั้น c+g = 1005

ซึ่งส่งผลให้ a+i = 1005

เท่ากับว่า ตอนนี้ ผลบวกมุมตรงข้ามของข้าวหลามตัดใหญ่ เป็น 1005

จากนั้นถ้าเราแบ่ง cbef ,edgh เป็น 4 รูปย่อย เหมือนรูปใหญ่ ก็จะได้ c+e =1005 และ e+g =1005

ดังนั้น g= e= c

ในทำนองเดียวกัน จาก a+i =1005 ก็จะได้ a= i = e

สรุปว่า a= i=c=g = 502.5

แต่รูปนี้ สร้างตรงไหนบนระนาบ XY ก็ให้จุดมุมเป็น 502.5 เสมอ ดังนั้น จุดทุกจุดถูก label ด้วยค่าคงที่ 502.5

---------------------------------------------------------------------------
ข้อ 4 วันที่ 2 ตรงช่วงแรกที่พิสูจน์ว่าเป็นสามเหลี่ยม ไม่ยากครับ ขอพิสูจน์แค่เฉพาะอสมการส่วนสูงแล้วกัน

แนวคิดคร่าวๆ คือ จาก law of cosine : $ b_3^2+c_3^2 -2b_3c_3 \cos A_3 =a_3^2$

สุดท้าย จัดรูปแล้วจะได้ $ b_3c_3 \cos A_3 = b_2c_2 \cos A_2+ b_1c_1 \cos A_1 $

พอยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง แล้วจัดรูปอีกครั้ง จะได้

$(b_1c_2\cos A_1 - b_2c_1\cos A_2)^2 +(b_1c_2 \sin A_1)^2 +(b_2c_1 \sin A_2)^2 = 4(\Delta_3^2 -\Delta_1^2-\Delta_2^2 ) $

ดังนั้น $ (b_1c_2 \sin A_1)^2 +(b_2c_1 \sin A_2)^2 \leq 4(\Delta_3^2 -\Delta_1^2-\Delta_2^2 )$

ซึ่งสมมูลกับ $$ \frac{\Delta_3^2}{c_3^2} \,\, \geq \,\, \frac{\Delta_1^2}{c_1^2} \,+\,\frac{\Delta_2^2}{c_2^2} \Rightarrow r_3^2 \,\,\geq \,\, r_1^2+ r_2^2 $$

Note :สัญลักษณ์ $ \Delta $ หมายถึงพื้นที่สามเหลี่ยมครับ
----------------------------------------------------------------------
p.s. อยากได้วิธีข้อ 8 วันแรก ครับ

[Switchgear]

ผมชอบเฉลยโจทย์ข้อ 5 วันที่ 2 ของคุณ passer-by มาก!

ความจริงแล้ว FE ส่วนใหญ่ ประยุกต์มาจากโจทย์เรขาคณิตก่อน
แล้วจึงเกิดสมการเหล่านี้ แต่ระยะหลังเรามักแก้ FE จากมุมมองพีชคณิต

ผมดู Application ในเล่ม Lectures on FE and Application ที่
แนะนำไว้ก่อนหน้านี้ ก็พบว่าส่วนใหญ่เป็น Application ทางเรขาคณิต

[zzz123]

วิธีทำข้อ 5 สุดยอดมากเลยครับผมนั่งแทนค่าตั้งนาน
ข้อ 8 จริงๆแล้ว $d(x,y)$ เป็นจำนวนที่นิยามขึ้นมาใหม่ เหมือนเป็นตัวแปร $z$ ตัวหนึ่งนั่นแหละครับ
เพราะฉะนั้นถ้าแ่บ่ง $\{1,2,3,...,2553\}$ ออกเป็น $\{1,2,...,37\}\cup\{38,39,...,74\}\cup...\cup\{2517,2518,...2553\}$ ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตที่เป็นเศษของการหารจำนวนเต็มใดๆด้วย $2553$ และรวมมีเซตดังกล่าวทั้งหมด $69$ เซต ดังนั้นถ้ามี เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มอย่างน้อย $70$ตัว โดยหลักรังนกพิราบต้องมี $2$ ตัวอยู่ในเซตเดียวกัน ให้เป็น $m,n$ จะได้ว่า $\left|\,\right.m-n\left|\,\right. \leqslant 36(mod 2553)$ ดังนั้น $d(m,n)\leqslant 36$ ตามต้องการ
ข้อ 7 ผมขออนุญาตเพิ่มอีก Solution ละกันนะคับ
โดย $AM-GM$
1.$\frac{a^5}{bc^2}+\frac{a^5}{bc^2}+b^2+c^2+c^2\geqslant 5a^2$
ทำแบบนี้กับอีก 2 ตัว แล้วบวกกันหมดจะได้ $2(L.H.S.)+3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 5(a^2+b^2+c^2)$
$\therefore L.H.S.\geqslant a^2+b^2+c^2$
2.จาก $\frac{a^5}{bc^2}+bc+ac\geqslant 3a^2$
ทำแบบนี้กับอีก 2 ตัวแล้วบวกกันได้ $L.H.S.\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geqslant a^2+b^2+c^2$
$\therefore L.H.S.\geqslant a^2+b^2+c^2$

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ข้อ 5 วันที่ 2 โจทย์สวยดีครับ

ถ้าลองเปลี่ยนมุมมองจากโจทย์ FE มาเป็น โจทย์เรขาคณิต ผสมพีชคณิต จะง่ายกว่าเดิมเยอะเลย

จริงๆ เงื่อนไขฟังก์ชัน ก็เหมือนเรา label จำนวนจริงให้จุดทุกจุดบนระนาบ XY โดย มีข้อแม้ว่า ผลบวกค่าที่ทุกจุดมุมของสี่เหลี่ยมรูปข้าวหลามตัดใดๆ ต้องเป็น 2010

ลองดูรูปข้างล่างประกอบครับ


รวมค่าตัวเลขของจุดมุมของข้าวหลามตัด 5 รูป (4 รูปเล็กกับ 1 รูปใหญ่) จะได้สมการ

2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+2e = (5)(2010)

(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+e = (5)(1005)

(a+b+d+e)+(e+f+h+i) +(c+g) = 5025

ดังนั้น c+g = 1005

ซึ่งส่งผลให้ a+i = 1005

เท่ากับว่า ตอนนี้ ผลบวกมุมตรงข้ามของข้าวหลามตัดใหญ่ เป็น 1005

จากนั้นถ้าเราแบ่ง cbef ,edgh เป็น 4 รูปย่อย เหมือนรูปใหญ่ ก็จะได้ c+e =1005 และ e+g =1005

ดังนั้น g= e= c

ในทำนองเดียวกัน จาก a+i =1005 ก็จะได้ a= i = e

สรุปว่า a= i=c=g = 502.5

แต่รูปนี้ สร้างตรงไหนบนระนาบ XY ก็ให้จุดมุมเป็น 502.5 เสมอ ดังนั้น จุดทุกจุดถูก label ด้วยค่าคงที่ 502.5

ขอคารวะครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ zzz123

ข้อ 8 จริงๆแล้ว $d(x,y)$ เป็นจำนวนที่นิยามขึ้นมาใหม่ เหมือนเป็นตัวแปร $z$ ตัวหนึ่งนั่นแหละครับ
เพราะฉะนั้นถ้าแ่บ่ง $\{1,2,3,...,2553\}$ ออกเป็น $\{1,2,...,37\}\cup\{38,39,...,74\}\cup...\cup\{2517,2518,...2553\}$ ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตที่เป็นเศษของการหารจำนวนเต็มใดๆด้วย $2553$ และรวมมีเซตดังกล่าวทั้งหมด $69$ เซต ดังนั้นถ้ามี เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มอย่างน้อย $70$ตัว โดยหลักรังนกพิราบต้องมี $2$ ตัวอยู่ในเซตเดียวกัน ให้เป็น $m,n$ จะได้ว่า $\left|\,\right.m-n\left|\,\right. \leqslant 36(mod 2553)$ ดังนั้น $d(m,n)\leqslant 36$ ตามต้องการ

ตรงที่ผม mark สีแดงไว้ ยังไม่เคลียร์ครับ เพราะเงื่อนไข $ (m-n)^2 \equiv d(m,n)^2 mod \,(2553)\,$ ถึงแม้ m,n เป็นแค่เศษ และ d(m,n) ไม่เกิน 1276 ก็ไม่ได้ imply $ d(m,n) = \left|\,m-n \right| $ นะครับ เช่น $ 16^2 \equiv 53^2 mod \,(2553)\, $

[zzz123]

Oops!! ขออภัยด้วยครับ
ตอนแรกผมมองแต่ว่า $16^2 \equiv 16^2 (mod 2553)$ ลืมไปว่า $16^2\equiv 53^2 (mod 2553)$ ด้วย
เดี๋ยวผมลองไปคิดใหม่ละกันนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquarious

ข้อ 9 วันแรก

ให้รากทั้ง 5 ตัวคือ $x_1,x_2,...,x_5$


จากผลบวกรากผลคูณรากของสมการจะได้ว่า

$ x_1+x_2+...+x_5= -\frac{5}{2}$ -----------(1)

และ$x_1x_2+...+x_4x_5=\frac{5}{2}$-------------(2)


$(1)^2-2*(2)$ จะได้ $x_1^2+x_2^2+...+x_5^2=\frac{5}{4}$-------(3)


$(3)*4-2*(2)$ จะได้ $(x_1-x_2)^2+(x_1-x_3)^2...+(x_4-x_5)^2= 0$

เพราะฉะนั้นรากทุกตัวต้องเท่ากัน นั่นคือ$x_1=x_2=...=x_5$

จะได้ว่ารากก็คือ $-\frac{1}{2}$

ข้อนี้ใช้อสมการนี้ก็ได้ครับ

ถ้าสมการ $x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมดแล้ว $2a^2\geq 5b$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อรากทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

กลับมาที่โจทย์จะเห็นว่า $2\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^2=5\Big(\dfrac{5}{2}\Big)$

ดังนั้นรากทุกรากต้องเท่ากัน

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

นี่คือข้อสอบของปีนี้เหรอครับ

7. $a,b,c>0$ $$\dfrac{a^5}{bc^2}+\dfrac{b^5}{ca^2}+\dfrac{c^5}{ab^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

Solution 1:

$LHS = \dfrac{a^6}{abc^2}+\dfrac{b^6}{bca^2}+\dfrac{c^6}{cab^2}$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ Cauchy

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ power mean $(a^3+b^3+c^3)^2\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^3$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

$~~~~~~\geq a^2+b^2+c^2$ ใช้อสมการ $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$

Solution 2:

อสมการสมมูลกับ

$a^7b+b^7c+c^7a\geq a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$

จาก Weighted AM - GM

$a^4b^2c^2=(a^7b)^{23/43}(b^7c)^{9/43}(c^7a)^{11/43}$

$~~~~~~~~\leq \dfrac{23}{43}a^7b+\dfrac{9}{43}b^7c+\dfrac{11}{43}c^7a$

อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน บวกกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

Solution 3:

จาก Holder's inequality

$\displaystyle{\sum_{cyc}a^4=\sum_{cyc}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(a^2b^2c^4\Big)^{1/3}}$

$~~~~~~~~\displaystyle{\leq \sqrt[3]{\Big(\sum_{cyc}\frac{a^5}{bc^2}\Big)^2(a^2b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}}$

ดังนั้น

$LHS^2\geq \dfrac{(a^4+b^4+c^4)^3}{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$

$~~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^6}{27a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$ ใช้อสมการ power mean $a^4+b^4+c^4\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

$~~~~~~~\geq (a^2+b^2+c^2)^2$ ใช้อสมการ AM-GM $(a^2+b^2+c^2)^3\geq 27a^2b^2c^2$

Solution 4:

A.M.-G.M. Inequality
\[\sum_{cyc}(\frac{a^5}{bc^2}+\frac{a^5}{bc^2}+b^2+c^2+c^2)\geqslant \sum_{cyc}5a^2\]

[ครูนะ]

เฉลยชุดที่ 1 ข้อ 2 เรขาคณิต

วาดรูปให้สอดคล้อง

จากการพิจารณาจากรูป

ให้ เส้นตรง BC ตัดกับ เส้นตรง EF ที่จุด O

มุม FBC = FEC = มุม 1 และ มุม BFE = มุม BCE = มุม 2

จะได้ สามเหลี่ยม FOC คล้ายกับ สามเหลี่ยม BOF แต่จากสามเหลี่ยมทั้งสองบรรจุในวงกลม

ดังนั้น สามเหลี่ยม FOC = สามเหลี่ยม BOF

จึงได้ว่า เส้นตรง DB = เส้นตรง BF = เส้นตรง FC = z

มุม EFC = มุม BFD = มุม 3

จาก เส้นตรง OC = OF ดังนั้น สามเหลี่ยม OFC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ให้ เส้นตรง OC = เส้นตรง OF = v

จากปีทากอรัส $v^2$ + $v^2$ = $y^2$

จะได้ v = y/รูท2

จาก สามเหลี่ยม DBF คล้ายกับ สามเหลี่ยม COF

y/v = เส้นตรง DF/z

y คูณ รูท2/y = เส้นตรง DF/z

เพราะฉะนั้น เส้นตรง DF = รูท2 คูณ z

คนบางคนใช้เวลาคิดโจทย์ยาก 5 นาที บางคนคิด 1 ชั่วโมง ซ้ำร้ายบางคนใช้เวลาเป็นวัน

อัจฉริยะกับคนธรรมดามันห่างกันเกินไป