นิยามการลู่เข้าของลำดับ

[t.B.]

นิยาม ลำดับ ${a_n}$ ลู่เข้า L ถ้าสำหรับทุกๆ $\epsilon >0$ มีจำนวนเต็มบวก N บางตัว โดยที่ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ถ้า n>N แล้ว $|a_n-L|<\epsilon $

คำถามก็คือ ในเมื่อให้ $\epsilon >0$ แล้ว ยังไง $|a_n-L|$ ต่ำสุดก็ 0 อยู่แล้ว อย่างนี้ก็เป็นจริงหมดทุกกรณีสิครับ
ถ้าอย่างนั้นจะรู้ได้ยังไงว่ามันลู่เข้าค่า L จริง ช่วยอธิบายทีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

[u] คำถามก็คือ ในเมื่อให้ $\epsilon >0$ แล้ว ยังไง $|a_n-L|$ ต่ำสุดก็ 0 อยู่แล้ว อย่างนี้ก็เป็นจริงหมดทุกกรณีสิครับ

เงื่อนไขอะไรที่จะเป็นจริงทุกกรณีครับ ตรงนี้ยังไม่เข้าใจ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เงื่อนไขอะไรที่จะเป็นจริงทุกกรณีครับ ตรงนี้ยังไม่เข้าใจ

หมายถึง $a_n$ กับ L จะเป็นอะไรก็ได้(ที่มีค่า) แล้วลบกันใส่แอบซะลูด ยังไงค่าของมันก็เป็น + หรือ 0 ค่าหนึ่ง และยังไงก็ต้องมี จำนวนจริงที่มากกว่าค่านั้น($\epsilon $) อยู่แล้วไม่ใช่หรอครับ

[nooonuii]

ต้องระวังเรื่องลำดับการเกิดของตัวแปรครับ

$\epsilon$ เมื่อกำหนดขึ้นมาแล้วเปลี่ยนแปลงค่าไม่ได้ครับ

นิยามหมายความว่า เมื่อกำหนด $\epsilon>0$ ขึ้นมาแล้ว

จะมีเทอมไกลๆ ของ $x_n$ ที่มีค่าใกล้กับ $L$ ไม่เกิน $\epsilon$

[t.B.]

แล้วถ้าเราเลือก $\epsilon $ มากๆไว้ก่อนมันก็ไม่มีทางผิดน่ะสิครับ

[nooonuii]

$\epsilon$ เราเลือกไม่ได้ครับ ต้องกำหนดขึ้นมาแล้วตั้งไว้ ที่เลือกได้คือ $N$ ซึ่งสามารถให้เป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ ได้

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\epsilon$ เราเลือกไม่ได้ครับ ต้องกำหนดขึ้นมาแล้วตั้งไว้ ที่เลือกได้คือ $N$ ซึ่งสามารถให้เป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ ได้

คิดอยู่นานก็ไม่เข้าใจครับ มีเหตุผลอะไร ทำไม N ถึงต้องเป็น ฟังก์ชัน ของ $\epsilon$ ด้วยครับ (รวมทั้งนิยามพื้นฐานตั้งแต่ลิมิต ทำไม เดลต้า ต้องเป็นฟังก์ชั่นของ $\epsilon$)
เนื่องจากว่า เวลาพิจารณาแค่ระยะทางบนแกนของจุดสองจุด(เหมือนในเรขาคณิตวิเคราะห์) ระยะทางในแกน x ไม่เห็นว่าจะต้องเกี่ยวอะไรกับแกน y เลยหนิครับ (ขัดกับความรู้สึกชอบกล)

ผมไม่ค่อยเข้าใจ พี่ nooonuii ช่วยอธิบายอีกรอบทีครับ

[nooonuii]

ลองเขียนลำดับ

$a_1,a_2,a_3,...,a_n,...,L$

เราต้องการให้ค่าของลำดับเข้าใกล้ $L$ ให้มากที่สุด เมื่อ $n$ มีค่าเยอะๆ

ก็มาดูว่าจะทำอย่างไรให้สามารถสร้างนิยามที่รัดกุมของแนวคิดอันนี้

เราก็พิจารณาช่วงเล็กๆในรูป $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ ซึ่งมี $L$ อยู่ข้างใน

ยิ่ง $\epsilon>0$ มีค่าน้อยเท่าไหร่ช่วงนี้ก็จะเข้าใกล้ค่า $L$ มากเท่านั้น

จากที่เราต้องการให้ลำดับเข้าใกล้ $L$ แสดงว่า เมื่อ $n$ มีค่าเยอะๆ

ค่าของลำดับ $a_n$ ควรจะตกเข้าไปอยู่ในช่วง $(L-\epsilon,L+\epsilon)$

และเมื่อตกเข้าไปอยู่ในช่วงนั้นแล้วไม่ควรกระโดดออกมาอีก

ดังนั้นไม่ว่าเราจะกำหนดให้ $\epsilon>0$ มีค่าเท่าไหร่ก็ตาม (จริงๆแล้วสนใจเฉพาะ $\epsilon$ มีค่าน้อยๆ)

เมื่อเรามองที่ช่วง $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ จะต้องมี $N$ ซักค่านึง

ที่ทำให้ $a_N\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$ และนับตั้งแต่ $a_N$ เป็นต้นไป

$a_n\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$ ทั้งหมด (นั่นคือค่าของลำดับไม่กระโดดออกไปนอกช่วงนี้อีกแล้ว)

แนวคิดนี้ถ้าเขียนให้รัดกุมมันก็นิยามการลู่เข้าของลำดับนั่นเอง ลองเอาไปเทียบกันจะให้ความหมายเดียวกัน

1. ถ้ากำหนด $\epsilon>0$ ขึ้นมาค่านึง จะมี $N$ ซึ่งทำให้ $a_n\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$ ทุกค่า $n=N,N+1,...$

2. ถ้ากำหนด $\epsilon>0$ ขึ้นมาค่านึง จะมี $N$ ซึ่งทำให้ $L-\epsilon<a_n<L+\epsilon$ ทุกค่า $n\geq N$

3. ทุก $\epsilon>0$ จะมี $N$ ซึ่งทำให้ $|a_n-L|<\epsilon$ ทุกค่า $n\geq N$

จะเห็นว่า $N$ ที่เลือกขึ้นมานี้ขึ้นอยู่กับช่วง $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ ที่เรากำหนดขึ้น

ซึ่งช่วงนี้ก็ขึ้นอยู่กับ $\epsilon$ ว่ามีค่ามากน้อยแค่ไหน

คำว่าขึ้นอยู่กับ $\epsilon$ นี้ก็เหมือนกับเราให้ $N$(ตัวแปรตาม) เขียนอยู่ในรูปฟังก์ชันของ $\epsilon$(ตัวแปรต้น)

ถ้ายังงงลองชี้แจงมาครับ วิชานี้อธิบายเป็นคำพูดให้เข้าใจได้ยากจริงๆ

[t.B.]

พอเข้าใจว่า การกำหนด $\epsilon $ ขึ้นมา ทำให้เกิดช่วงที่มี $a_n \rightarrow L$ ที่ระยะห่างมากสุดเป็น $\epsilon ; n\geqslant N$ ขึ้น แต่ที่ยังสงสัยอยู่ คือ ความสัมพันธ์ ของ N กับ $\epsilon $ ที่พี่ nooonuii บอกว่า $N=f(\epsilon ) $ มันไม่ชัดเจนเหมือน y=f(x) อะครับ มีวิธีดูหรือพิสูจน์ยังไงบ้างมั้ยครับ

[nooonuii]

มองว่า $N$ เลือกให้เป็นสูตรที่ขึ้นอยู่กับ $\epsilon$ ก็ได้ครับ เช่น

$\dfrac{1}{n}\to 0$

กำหนด $\epsilon>0$

เลือก $N=\Big[\dfrac{1}{\epsilon}\Big]+1$

จะเห็นว่า $N$ ที่เราเลือกมันเป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$