IWYMIC 2004

[math ninja]

ไว้เตรียมสอบปีหน้า
บุคคล http://www.taimc2012.org/problem/200...Individual.pdf
ทีม http://www.taimc2012.org/problem/2004-IWYMIC-Team.pdf

[math ninja]

ข้อ 2 บุคคล ตอบ 1
ข้อ 3 บุคคล ตอบ 8

[banker]

ใช้หลักอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่่ยมกับความยาวด้านที่มีจุดยอดร่วมกัน

สามเหลี่ยม ABC โดยมี C เป็นจุดยอด และ D บนฐาน AB

จะได้ DB: DA = 1 : 4

เพื่อให้ตัวเลขลงตัว DB = 3y ---> AD = 12y


สามเหลี่ยม ADE โดยมี E เป็นจุดยอด และ F บนฐาน AD

จะได้ DF: FA = 1 : 2

---> DF = 4y, FA = 8y

8y + 4y +3y = 30

4y = 8

DF = 8

[math ninja]

ข้อสอบยากจังเลย ใครทำได้ช่วยที ช่วยที

[Thamma]

ยังมองไม่ออกเลยค่ะ

กรุณาช่วยชี้แนะแนวทาง

ขอบคุณมากค่ะ

[gon]

ข้อ 12. ก่อนนะครับ พิมพ์ง่ายดี

ข้อนี้หลักการคือจัดให้อยู่ในรูป S.O.S. (sum of sqaure) ครับ

ซึ่งมีหลักการว่าให้มองว่าตัวแปรมีหนึ่งตัว ตัวที่เหลือเป็นค่าคงตัว

เช่น ค่าต่ำสุดของ $x^2-4xy+5y^2-2y+6$

ถ้ามองว่า $x$ เป็นตัวแปร จะได้

$(x^2 - 4xy + 4y^2) - 4y^2 + 5y^2 - 2y + 6$

$= (x-2y)^2 + (y - 1)^2 + 5$

แสดงว่าค่าต่ำสุดคือ 5 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $y - 1 = 0$ และ $x = 2y$

สำหรับข้อนี้ก็ทำนองเดียวกัน เริ่มต้นให้มองว่า x เป็นตัวแปร y, z เป็นค่าคงตัว

จากนั้นทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วมองว่า y เป็นตัวแปร z เป็นค่าคงตัว

สุดท้ายก็มองว่า z เป็นตัวแปร ก็จะได้สมการที่จัดรูปแล้วทำนองนี้ครับ

$(x-?_1)^2 + k_1(y-?_2)^2 + k_2(z + ?_3)^2 + m$

เมื่อ $k_1, k_2$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งก็จะได้ว่าค่าต่ำสุดจะเท่ากับ m นั่นเอง

หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้ ถ้าผมจำไม่ผิด ในเว็บ bimc2013 กับของเก่า imc2012 จะเฉลยไม่ถูกครับ

ซึ่งผมลองตรวจคำตอบโดยใช้ wolfram แล้วก็พบว่าตรงกับที่ผมคำนวณ ดังนั้นถ้าได้ไม่ตรงเฉลยก็ไม่ต้องแปลกใจครับ.

[gon]

ข้อ 4. แนวคิดก็คือ นับเกิน 7000 ไปนิดหน่อยครับ แล้วเขียนย้อนกลับมา

solutionข้อ4

คร่าว ๆ ก็คือ

ถ้าขึ้นต้นด้วย 1, 2, 3, 5 จะมีทั้งหมด 4[2(6!)] แบบ

ถ้าขึ้นต้นด้วย 6 (ได้แก่ 60, 61, 62, 63, 65, 67) จะมีทั้งหมด 6(5!) แบบ

ถ้าขึ้นต้นด้วย 70, 71 มีทั้งหมด 2[2(5!)] แบบ

ถ้าขึ้นต้นด้วย 720 มีทั้งหมด 2(4!) แบบ

รวมมีทั้งหมด 5760 + 720 + 480 + 48 = 7008 แบบ

นั่นคือแผ่นทะเบียนรถแผ่นที่ 7008 คือ 7209531

ถ้านับถอยหลังไปคือ 7209531 --> 7209513 -- > ... ก็จะถึงแผ่นที่ 7000 ได้ครับ.

ข้อ 11. แนวคิดก็คือ x = [x] + {x} เมื่อ x แทน ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ x และ {x} แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ x

เช่น -2.34 = -3 + 0.66 --> [-2.34] = 3, {-2.34} = 0.66

2.34 = 2 + 0.34 --> [2.34] = 2 , {2.34} = 0.34

2 = 2 + 0 --> [2] = 2, {2} = 0

จะเห็นว่า $0 \le \{x\} < 1$ เสมอ

solutionข้อ11

ดังนั้น $0 \le \{(x+1)^3\} < 1$ แต่โจทย์ให้ $\{(x+1)^3\} = x^3$ แสดงว่า $0 \le x^3 < 1 \Rightarrow 0 \le x < 1 ... (*)$

และเนื่องจาก $\{x\} = x - [x] $ ดังนั้น $\{(x+1)^3\} = (x+1)^3 - [(x+1)^3]$ แต่จากโจทย์ $\{(x+1)^3\} = x^3$

แสดงว่า $(x+1)^3 - x^3 = [(x+1)^3]$ นั่นคือ $3x^2+3x+1 = [(x+1)^3]$ แสดงว่า $3x^2+3x = [(x+1)^3] - 1$

ให้ $[(x+1)^3] - 1 = a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ดังนั้น $3x^2+3x=a \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{12a+9}} {6}$ (เครื่องหมายลบ ใช้ไม่ได้ เนื่องจาก x ไม่เป็นลบ)

แต่จากอสมการ (*) จะได้ $0 \le a < 6$ เมื่อแทน $a = 0, 1, 2, ..., 5$ ก็จะได้ x ออกมาทั้ง 6 ค่าครับ.

[gon]

solutionข้อ 12.

จะเริ่มจาก x เป็น y เป็น z ให้เป็นกำลังสอง ตามลำดับ

เริ่มจาก $x^2-(y+z-3)+y^2+5z^2-3yz-4y+7z$

จากนั้นบวกเข้าลบออกด้วย $\frac{(y+z-3)^2}{4}$

พอรวมพจน์ที่เหลือเสร็จ ก็ดึงสัมประสิทธิ์ของ $y^2$ คือ 3/4 ออกมาก่อน แล้วทำให้ y เป็นกำลังสมบูรณ์ต่อแบบเดิมครับ

สุดท้ายจะได้ $(x-\frac{y+z-3}{2})^2 + \frac{3}{4}(y-\frac{7z+5}{3})^2+\frac{2}{3}(z+2)^2 - 7$

ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ -7 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $(x, y, z) = (-4, -3, -2)$

ตรวจคำตอบ

[Thamma]

ได้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบ ขอบคุณมากค่ะ

ยอดเยี่ยมทั้งโจทย์ทั้งเฉลย

[Onion]

รบกวนช่วยเฉลยวิธีทำหน่อยครับ

เฉลยคำตอบ

1. 4
2. 1
6. (2,2),(2,4),(2,7),(4,4)
10. 16,8

[gon]

ข้อ 2



Hint : ความจริงอันประเสริฐ

ถ้า $x \ge 0$ และ $y \ge 0$ และ $z \ge 0$ โดยที่ $x+y+z = 0$ แล้วจะสรุปได้เพียงแบบเดียวว่า $x = y = z = 0$

แอบดูเฉลยถ้าคิดไม่ออก

จาก $b^2+c^2 = 1 - a^2 \Rightarrow -1 \le a \le 1$

ทำนองเดียวกัน จะได้ $-1 \le b \le 1, -1 \le c \le 1$

จากนั้นนำสมการทั้งสองมาลบกันหรือจับมาเท่ากัน จะได้

$a^2(1-a) + b^2(1-b) + c^2(1-c) = 0$

แต่ $a^2(1-a) \ge 0, b^2(1-b) \ge 0, c^2(1-c) \ge 0$

ดังนั้น $a = 0, 1$ และ $b = 0, 1$ และ $c = 0, 1$

ดังนั้น $(a, b, c) $ ที่สอดคล้องกับระบบสมการจะมี 3 ผลเฉลยคือ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$

[Onion]

ขอบคุณคุณ gon มากครับ