ช่วยด้วยครับ !!

Siren-Of-Step · #1 28 ตุลาคม 2010, 10:00

จงพิสูจน์ว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$

เอามาจาก mathcenter contest อะครับ

nooonuii · #2 28 ตุลาคม 2010, 10:41

ข้อนี้ง่ายมากๆครับ

สมมติ $2^n=10000x+2552$

ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้น

Siren-Of-Step · #3 28 ตุลาคม 2010, 21:16

ขอบคุณมากครับ ๆ ทำไมมองไม่ออก

poper · #4 28 ตุลาคม 2010, 21:23

ยังไงเหรอครับ
ช่วยแสดงให้ดูทีครับ

De4t]-[NotE · #5 28 ตุลาคม 2010, 21:25

งงเหมือนกาน

Siren-Of-Step · #6 28 ตุลาคม 2010, 21:29

$2^n = 8(1250x + 319)$
$2^n = 8k , k = 2(625x) + 319 , 2j + 1 , \exists j \in \mathbb{N} $

เนื่องจาก ด้านซ้ายไม่มีตัวประกอบเป็นจำนวนคี่ เพราะฉะนั้น $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$

poper · #7 28 ตุลาคม 2010, 21:35

ขอบคุณมากครับ

ไม่เคยทำโจทย์แนวนี้เลยครับ
เริ่มไม่ถูก ไปไม่เป็น

De4t]-[NotE · #8 28 ตุลาคม 2010, 22:20

ขอบคุณคร๊าบบบ

ครูนะ · #9 29 ตุลาคม 2010, 05:20

$2^n = a_110^N + a_210^{N-1} + ... + a_{N-3}10^4 + 2552$

ที่ทุก $a_i$ มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 9 โดยที่ i = 1, 2, ..., N-3

จากด้านขวา จะเห็นว่าทุกพจน์มี 8 เป็นตัวประกอบดังนั้น

$2^n = 8[a_1(2^{N-3})(5^N) + a_2(2^{N-4})(5^{N-1}) + ... + a_{N-3}(2)(5) + 319]$

เอา 8 หารทั้งสองข้างจะได้

$2^{n-3} = a_1(2^{N-3})(5^N) + a_2(2^{N-4})(5^{N-1}) + ... + a_{N-3}(2)(5) + 319$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าด้านซ้ายเป็นจำนวนคู่ แต่ด้านขวาเป็นจำนวนคี่

ดังนั้น $2^n$ จึงไม่ลงท้ายด้วย 2552 ที่ทุกจำนวนเต็ม n