เก็บตก สมการสำหรับ ม.ต้น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลองมาทำแบบยกกำลังสองดะดูครับว่า มันได้คำตอบอะไร
$ \sqrt{x+2\sqrt{x-1} }-\sqrt{x-2\sqrt{x-1} } = 2$
$ \sqrt{x+2\sqrt{x-1} } = 2+\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }$
$x+2\sqrt{x-1} =4+4\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }+x-2\sqrt{x-1} $
$2\sqrt{x-1}-2=\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }$
$4x-4+4-8\sqrt{x-1}=x-2\sqrt{x-1} $
$x=2\sqrt{x-1}$
$x^2=4(x-1)$
$x^2-4x+4=0$
$(x-2)^2=0$
$x=2$...ลองแทนค่ากลับก็ใช้ได้

ลองให้$x=10$....$ \sqrt{10+2\sqrt{10-1} }-\sqrt{10-2\sqrt{10-1} } = \sqrt{16}-\sqrt{4} =2 $
หาค่าจากการแก้สมการด้วยการยกกำลังสองได้คำตอบเดียว แต่ทำไม$x=10$ก็ทำให้สมการเป็นจริงด้วย....
การแก้สมการติดรูทด้วยการยกกำลังสองคงต้องระวัง ไม่ให้ยกกำลังสองดะแล้วคำตอบหล่นหายไปได้

ควรจะได้คำตอบเกินมาครับ ดูสีแดงอีกครั้ง ถ้าทำมาถูกทางจะได้สมการ

$\sqrt{x-1}-1=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$

ซึ่งจะบังคับให้ $\sqrt{x-1}-1\geq 0$ เพราะข้างขวาไม่ติดลบ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$\sqrt{t^2+2t+1} - \sqrt{t^2-2t+1} = 2$
จาก$\sqrt{x^2}=\left|\,x\right| $.....จะได้ว่าเป็น
$\sqrt{(t+1)^2}- \sqrt{(t-1)^2} = 2$
$\left|\,t+1\right|-\left|\,t-1\right| =2 $
เนื่องจาก$\sqrt{x-1}=t \rightarrow t\geqslant 0$
$\left|\,t+1\right|= t+1 , t\geqslant -1$ เนื่องจาก $t\geqslant 0$ ดังนั้น$\left|\,t+1\right|= t+1$
$\left|\,t-1\right|= t-1 ,t\geqslant 1$
$\left|\,t-1\right|= -(t-1) ,t< 1$
แยกเป็น
1.$t\geqslant 1$
$(t+1)-(t-1)=2$....แสดงว่าที่ค่า$t\geqslant 1$ ทำให้สมการเป็นจริง กลับไปหาค่า$x$
$\sqrt{x-1}=t \geqslant 1 \rightarrow x\geqslant2$
2.$0\leqslant t<1$
$(t+1)-(-(t-1)) = 2t = 2 \rightarrow t=1$ ซึ่งค่า$t$ที่หาได้อยู่นอกขอบเขตที่กำหนด
ดังนั้นจึงสรุปว่า$x\geqslant2$

จริงๆไม่ต้องแยกกรณีก็ได้ครับ
ทำตามวิธีของคุณ siren ง่ายกว่าครับ เนื่องจาก $|t-1|=t-1$
ข้างซ้ายจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ ดังนั้นข้างขวาก็ต้องไม่เป็นลบแน่นอนครับ จึงได้ว่า $t\geqslant 1$
และ $|t+1|=t+1$ ครับ เนื่องจาก $t\geqslant 0$ ครับ

[กิตติ]

วันนี้เบลอจัดคิดสมการแล้วเขียนสัมประสิทธิ์ผิดอีกแล้ว....เดี๋ยวกลับไปแก้ครับ

[poper]

ถ้ามาถูกทางจะได้
$$\sqrt{x-1}-1=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$$
$$-2\sqrt{x-1}=-2\sqrt{x-1}$$
ดังนั้น $x\geqslant 1$
แต่จากสมการสีแดง จะมีเงื่อนไขว่า
$\sqrt{x-1}-1\geqslant 0$ ครับ ซึ่งแก้แล้วจะได้ $x\geqslant 2$
ดังนั้นคำตอบจึงเป็นช่วง $x\geqslant 2$ ครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณNOOONUII...ที่เมตตาช่วยดูและชี้แนะข้อผิดพลาดให้ ถ้าไม่มาชี้แนะ ผมคงเข้าใจอะไรผิดๆ
ขอบคุณคุณpoperด้วยครับ ดึกๆดื่นๆแล้วยังนั่งเป็นเพื่อนช่วยแนะข้อผิดๆพลาดๆของคนแก่
คืนนี้ขอตัวก่อนครับ ไปนั่งดูรายการของคุณสุทธิชัย หยุ่นก่อนครับ...good night

[กิตติ]

เมื่อคืนแอบย่องเข้าไปในKukkai เห็นโจทย์ม.ต้น ข้อนี้เลยลองเข้ามาแปะให้ช่วยกันแก้ดูครับ
$Eximius 3$
ข้อ$15.$ จงหาคำตอบของสมการ $x=2\sqrt{x-\frac{1}{x} } +\sqrt{1-\frac{4}{x} } $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เมื่อคืนแอบย่องเข้าไปในKukkai เห็นโจทย์ม.ต้น ข้อนี้เลยลองเข้ามาแปะให้ช่วยกันแก้ดูครับ
$Eximius 3$
ข้อ$15.$ จงหาคำตอบของสมการ $x=2\sqrt{x-\frac{1}{x} } +\sqrt{1-\frac{4}{x} } $

โจทย์ข้อนี้ดูๆไปแล้ว ก็ไม่น่าจะมีอะไร

แค่ยกกำลังสองธรรมดาๆ ก็น่าจะได้คำตอบแล้ว

แต่ ... แต่ทำไมไม่มีใครมาตอบ

มันต้องมีอะไรผิดปกติแน่ๆ

ยังไงก็ลุยไปก่อนก็แล้วกัน หมูไม่กลัวน้ำร้อนซะอย่าง

(ถ้าผิดเดี๋ยวเซียนก็มาชี้แนะให้เอง)

$x =2\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{4}{x}}$

$x-2\sqrt{x-\frac{1}{x}} = \sqrt{1-\frac{4}{x}}$

ยกกำลังสอง $ \ \ \ x^2 -4x\sqrt{x-\frac{1}{x}} + 4x - \frac{4}{x} = 1 - \frac{4}{x}$

$x^2 -4x\sqrt{x-\frac{1}{x}}+4x -1 = 0$

$x \not= 0 \ $ หารตลอด $ \ \ \ x -4\sqrt{x-\frac{1}{x}} +4 - \frac{1}{x} = 0$

จัดรูปใหม่ $ \ \ \ \left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}\right)^2 - 4\sqrt{x-\frac{1}{x}} + 4 = 0$

$\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}} - 2 \right )^2 =0$

$\sqrt{x-\frac{1}{x}} = 2$

$x-\frac{1}{x} =4$

$x^2 -4x-1 =0$

$x = 2 \pm \sqrt{5} $

คุณกิตติเคยบอก ถ้าเอามายกกำลัง มักจะได้คำตอบเกินมา ต้องร่อนหาตัวที่ใช้ได้

ลองตรวจสอบคำตอบแล้ว ใช้ได้ค่าเดียว คือ $x = 2 + \sqrt{5} $

ตอบ $x = 2 + \sqrt{5} $

[กิตติ]

ไม่ได้มีอะไรที่ไม่ชอบมาพากลหรอกครับ เขาคงเลิกเข้ากระทู้นี้กันมากกว่า
ที่ลุงBankerทำ ผมว่าก็ถูกแล้วนะครับ

[!!!-Argentum-!!!]

ช่วยหน่อยครับ

ถ้า $x , y , z$ และ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง..

$x+y+z = a$ และ

$x^2 + y^2 + z^2 =$ $\frac{a^2}{2}$

แล้ว $\frac{y}{a}$ มีค่ามากที่สุดเป็นเท่าใด

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ !!!-Argentum-!!!

ช่วยหน่อยครับ

ถ้า $x , y , z$ และ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง..

$x+y+z = a$ และ

$x^2 + y^2 + z^2 =$ $\frac{a^2}{2}$

แล้ว $\frac{y}{a}$ มีค่ามากที่สุดเป็นเท่าใด

$(x/a) + (y/a) + (z/a) = 1$

$(x/a)^2+(y/a)^2+(z/a)^2=1/2$

ให้ $p, q, r = x/a, y/a, z/a$ ตามลำดับ

ดังนั้น
$p+r=1-q$ และ $p^2+r^2=(1/2)-q^2$

แต่เนื่องจาก $p^2+r^2\ge (1/2)(p+r)^2$

ดังนั้น $(1/2)-q^2 \ge (1/2)(1-q)^2$

กระจายแล้วจัดรูปได้ $3q^2-2q \le 0$

$q(3q-2) \le 0$

แก้อสมการได้ $0 \le q \le 2/3$

ดังนั้น q มากสุดคือ 2/3

[Dark matter]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งทุกหลักของ n เป็นเลขเดียวกัน ถ้า $3,27,81,243$ หาร n ลงตัว
แล้ว n ที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว เป็นจำนวนเต็มกี่หลัก

ขอ hint หน่อยครับ

ขอนี้ผมได้27หลักครับ
ไม่รู้ว่าใช้วิธีนี้ได้ไหมครับ
ผมใช้วิธีที่ว่าผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนจะต้องหารด้วย243ลงตัว
ให้เลขโดดแต่ละตัวเป็น9เพื่อจะได้เกิดจำนวนที่มีหลักน้อยสุด
99999.......99999 มีทั้งหมด xตัว
เลยจับ (x)(9)=243 (เพราะอย่างน้อยต้องหาร243ลงตัว)
x=27
ดังนั้นจึงมี27หลัก

[!!!-Argentum-!!!]

เดินไปตึกคณิตของมน. เห็นบอร์ดของตึกคณิตมีโจทย์อยู่หลายข้อ ผมขอเอามา 3 ข้อครับ (ต้องถ่ายรูปมา ไม่มีกระดาษจด )
1. จงหาค่า $x$ จากสมการ
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}$ + $\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$ = $\sqrt2$

2.จงหาค่า $x$ ทั้งหมดจากอสมการ
$\sqrt{3-x}$ - $\sqrt{x+1}$ $>$ $\frac{1}{2}$

3.ให้ $u,v,w$ เป็นคำตอบของสมการ
$x^{3}$ - $5x^{2}$ + $4x$ - $3$ = 0
จงหาพหุนามที่มี $u^3 , v^3 , w^3$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ !!!-Argentum-!!!

เดินไปตึกคณิตของมน. เห็นบอร์ดของตึกคณิตมีโจทย์อยู่หลายข้อ ผมขอเอามา 3 ข้อครับ (ต้องถ่ายรูปมา ไม่มีกระดาษจด )
1. จงหาค่า $x$ จากสมการ
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}$ + $\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$ = $\sqrt2$

คุณ argentum เอามาเหรอครับเนี่ย

เอามาเราก็จัดไป

ให้ $A=\sqrt{2x-1}$ จัดรูปจะได้

$\sqrt{A^2+1+2A}+\sqrt{A^2+1-2A}=2$

$A+1+\left|\,A-1\right|=2 $

กรณี 1. $A\geqslant 1$

$A+1+A-1=2$

$A=1$

$2x-1=1$

$x=1$

กรณี 2 $A<1$

$A+1+1-A=2$

$2=2$ เป็นจริงเสมอ

$\sqrt{2x-1}<1$

$2x-1<1$

$x<1$

แต่ $A\geqslant 0$

$\therefore x\in [\frac{1}{2},1)$

จากทั้งสองกรณีจะได้ว่า

$x\in [\frac{1}{2},1]$

[กิตติ]

3.ให้ $u,v,w$ เป็นคำตอบของสมการ
$x^{3}-5x^{2}+4x-3 = 0$
จงหาพหุนามที่มี $u^3 , v^3 , w^3$เป็นรากสมการ

จากการเทียบสัมประสิทธิ์
$u+v+w = 5$
$uv+uw+vw =4$
$uvw=3$

สมการพหุนามที่ต้องการหาคือ$x^3-(u^3+v^3+w^3)x^2+(u^3v^3+u^3 w^3+v^3w^3)x-u^3v^3w^3$
$u^3+v^3+w^3=(u+v+w)^3-3(u+v+w)(uv+uw+vw)+3uvw$
$=125-60+15 =80$
$u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2=(uv+uw+vw)^2-2uvw(u+v+w)$
$=16-30 =-14$
$u^3v^3+u^3 w^3+v^3w^3 =(u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2)(uv+uw+vw)+3(uvw)^2-uvw(u+v+w)(uv+uw+vw )$
$= -56+27-60 = -116+27 = -89$

สมการพหุนามที่ต้องการหาคือ$x^3-80x^2-89x-27$