ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2553 ฉบับสแกน

[tongkub]

อันนี้ตามที่ผมเ้ข้าใจนะครับ ถ้าผิดพลาดตรงไหนช่วยแย้งด้วยนะครับ

ดูที่ฟังก์ชั่นก่อนครับ

$f(n) = 1$ เมื่อ n เป็นเลขคี่
$f(n) = 1 + f(\frac{n}{2})$ เมื่อ n เป็นเลขคู่

เรามาลองแทนค่าก่อน

f(1) = 1
f(2) = 1 + f(1) = 2
f(4) = 1 + f(2) = 1 + 2 = 3
f(8) = 1 + f(4) = 1 + 3 = 4
f(16) = 1 + f(8) = 1 + 4 = 5

เพราะฉะนั้นถ้าเกิดตัวนั้นมี $2^n$ เป็นตัวประกอบ จะมีค่า = n+1 **

พอมาถึงตอนนับ เรานับเลขคี่ เราได้ 271 ตัว ได้เท่ากับ 271

มาถึงตอนนับเลขคู่บ้าง ซึ่งวิธีผมไม่ดีเลยครับ อย่าทำตามนะครับ แต่พอจะอธิบายได้ครับ

เรามาลองดู จำนวน 2 ของแต่ละตัวกัน

2010 มี 2 ทั้งหมด 1 ตัว
2012 มี 2 ทั้งหมด 2 ตัว
2014 มี 2 ทั้งหมด 1 ตัว
2016 มี 2 ทั้งหมด 5 ตัว
2018 มี 2 ทั้งหมด 1 ตัว

จะสังเกตได้ง่ายว่าถ้าเรานับแบบนี้ จะต้องมีบางตัวที่มี 2 เป็นตัวประกอบเยอะมากๆโผล่มาแน่ๆ เช่น 2048 เป็นต้น

ผมจะเริ่มทำการนับดังนี้

เราพิจารณาในช่วง 2010 - 2553 ตัวที่เราจะนับตัวแรก ต้องเป็นตัวที่น้อยกว่า $2^{12}$ เพราะ ค่าของเราน้อยกว่านั้นแน่นอน

ตัวที่มี $2^{11}$ เป็นองค์ประกอบ คือ $\left\lfloor\,\frac{2553}{2048}\right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2010}{2048}\right\rfloor $ = 1 - 0 = 1 ตัว

ดังนั้นเราจะได้ตัวหนึ่งคือ 2048 นั่นเองครับ ซึ่งเท่ากับมี 2 เท่ากับ $2^{11}$ ดังนั้น f(2048) = 12 นั่งเอง

มาดู $2^{10}$ ต่อเลยครับ

$\left\lfloor\,\frac{2553}{1024}\right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2010}{1024}\right\rfloor $ = 2 - 1 = 1 แต่เราจะบอกว่ามี 1 ตัวไม่ได้ครับ เราต้องลบออกด้วยตัวที่มี $2^{11}$ ทิ้ง เพราะว่าถ้าตัวนั้นหาร $2^{11}$ ลงตัวได้แล้ว จะต้องหารด้วย $2^{10}$ ลงแน่นอนครับ

ดังนั้น เราจะได้ 1 - 1 = 0
แปลว่าว่าไม่มีจำนวนที่หารด้วย 1024 ในช่วงนั้นเลยใช่ไหม ก็ต้องบอกว่าไม่ใช่ครับ เพราะ 1024 นั้นที่เรานับได้ 1 ตัวในการลบตอนแรก คือ 2048 ยังไงละครับ

ซึ่งเรานับไปตอนกรณีที่ 1 เรียบร้อยแล้ว การพิจารณาแบบนี้จะไม่ให้เรานับเกินครับ ซึ่งจะตรงกับประโยคที่คุณ nooonuii เขียนให้ครับ

ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ สามารถเขียนในรูป $n=2^tm$ เมื่อ $t\geq 0$ และ $m$ เป็นจำนวนคี่ได้เสมอ ที่ต้องระบุว่าเป็นจำนวนคึ่เพราะถ้าเป็นคู่ มันจะปนกับกรณีอื่นครับผม

ข้อเสียของผมคือ การหารจะใช้เวลานาน แถมต้องคอยลบกับกรณีก่อนหน้าอีก แต่คงพอจะเข้าใจได้นะครับ

[jabza]

ผมหา nt จากการนับจำนวนเทอมในลำดับเลขคณิตครับ
__________________
รบกวนพี่nooonuii อธิบายหา ntจากลำดับเลขคณิตตรงไหน ช่วยกรุณาทำจนได้คำตอบ1088. ส่วนตรงอื่นๆที่อธิบายมาผมเข้าใจหมด ติดตรงหาnt.

[poper]

เรียงข้อมูลที่ได้ก่อนนะครับ
$n=2^tm$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนคี่ แล้วเราจะได้ว่า $\sum f(n)=\sum(t+1)n_t$ เมื่อ $n_t$ คือจำนวนของพจน์ของ $f(n)$ ในแต่ละค่า $t=0,1,2,...11$
ดังนั้น
$t=0$ $\ \ \ \sum f(n)=n_t$
$n=2^0m=m$ ดังนั้น $n=2011,2013,...,2553$--->$n_t=272=\sum f(n)$
$t=1\ \ \ \ \sum f(n)=2n_t$
$n=2m$ ดังนั้น $n=2010,2014,2018,...,2550$--->$n_t=136--->\sum f(n)=272$
ทำแบบนี้ทุกค่า $t$ ครับ

[jabza]

ขอขอบคุณ poper ผมเข้าใจแล้วครับ ต้องกลับไปนั่งไล่tจนถึงt=11

[MiNd169]

ผมคิดข้อ 33 แบบนี้ครับ

จาก 2010 - 2553
มันจะมี 1 ออกมาในขั้นแรก 544 ตัว
หลังจากนั้น ดูว่ามีเลขคู่กี่ตัวใน 544 ตัว
สรุปว่ามี 272 ตัว
ดังนั้น จะทำให้ใส่ฟังก์ชันแล้วเกิดเป็น 1 ได้อีก
จากนั้นดูว่าเหลือเลขคู่อีกกี่ตัวหลังจากใส่ฟังก์ชันไปอีกครั้ง

ซึ่งกรณีข้างต้นสามารถได้โดยการเช็คว่า 2010 - 2553 มี 2 4 8 ... เป็นตัวประกอบกี่ตัว ใช้

$\left\lfloor\,\frac{2553}{2} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{2} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{4} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{4} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{8} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{8} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{16} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{16} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{32} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{32} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{64} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{64} \right\rfloor +$ $ \left\lfloor\,\frac{2553}{128} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{128} \right\rfloor +
\left\lfloor\,\frac{2553}{256} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{256} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{512} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{512} \right\rfloor +
\left\lfloor\,\frac{2553}{1024} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{1024} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{2048} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{2048} \right\rfloor$

$= 272 + 136 + 68 + 34 + 17 + 8 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 1088$

ตอนแรกที่ผมได้ 1086 เพราะดันสะเพร่าไม่ได้หา $\left\lfloor\,\frac{2553}{1024} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{1024} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2553}{2048} \right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{2009}{2048} \right\rfloor$ เพราะคิดว่ามันสุดที่ 1 ไปแล้ว

เฮ้อ... เสียดายจริงๆครับ ตั้ง 4 คะแนน

[passer-by]

ข้อ 26 (Version แยกตัวประกอบบางส่วน)

$ LHS = x^{2553} - x^{2550} +x^5 -x^2+4 $ มี $x+1$ เป็นตัวประกอบแน่นอน

ดังนั้น $ LHS = (x+1)(x^{2552}-x^{2551}+x^{2550} -2x^{2549}+2x^{2548}-\cdots +2x^6-2x^5+3x^4-3x^3+3x^2-4x+4) =(x+1)g(x)$

อาจมอง $g(x)= (x^{2550}+2x^{2548}+2x^{2546}+\cdots+2x^4+3x^2+4)(1-x) + x^{2552}+x^4$

ดังนั้น ถ้า

(1) $ -1 < x \leq 1 $ จะได้ $ 1-x \geq 0 \Rightarrow g(x) >0 $ และ $ x+1 >0 $ ดังนั้น LHS >0

(2) $ x>1$ จะได้ $LHS= x^2(x^3-1)(x^{2548}+1)+4 > 0$

(3) $ x \leq -1$ จะได้ $1-x >0 \Rightarrow g(x) >0 $ แต่ $x+1 \leq 0$ ดังนั้น LHS <0

แสดงว่าเซตคำตอบคือ $ (-1, \infty) $

[-SIL-]

ผมคิดว่า
$\sum_{n = 2010}^{2553} f(n) = f(2010)+f(2011)+...+f(4562)$

ไปอีกแล้ว 4 คะแนน

[tongkub]

รบกวนขอแนวคิดข้อ 29 ด้วยครับ

[กิตติ]

ข้อ 29 เราเขียนออกมาได้ว่า$a=30M,b=30N$ โดยที่$(M,N)=1$
$a^3=30^3M^3$
$b^4=30^4N^4$
$(a^3,b^4)=30^3$
จำนวนสมาชิกในเซต $C$ เท่ากับ 1
ไม่รู้ว่าจะผิดตรงไหนบ้าง ช่วยดูหน่อย

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 29 เราเขียนออกมาได้ว่า$a=30M,b=30N$ โดยที่$(M,N)=1$
$a^3=30^3M^3$
$b^4=30^4N^4$
$(a^3,b^4)=30^3$
จำนวนสมาชิกในเซต $C$ เท่ากับ 1
ไม่รู้ว่าจะผิดตรงไหนบ้าง ช่วยดูหน่อย

$(a^3,b^4)=30^3(M^3,30N^4)$
เพราะฉะนั้น คำตอบข้อนี้ขึ้นกับ หรม.ของก้อนหลังด้วยครับ (ไม่จำเป็นต้องเป็น 1เท่านั้น เช่น กรณีที่ M มี prime factor ร่วมกับ 30 แต่ N ไม่มี )

[กิตติ]

ขอบคุณมากเลยครับคุณpasser-by.....ผมลืมคิดไปเลยว่าถ้า$M^3$ ประกอบด้วยตัวร่วมของ $30$
ถ้าเราแยก$30=1\times 2\times 3\times 5$
เราก็จะได้ว่า $M=1,2,3,5,6,10,15,30$

[tongkub]

รบกวนช่วยยกตัวอย่างคู่ลำดับได้ไหมครับ ยังไม่เข้าใจคำถามเลย

[jabza]

พี่กิตติคับ. ตกลงข้อนี้ต้องตอบเชตCมีสมาชิก=8ใช่ไหม.

[กิตติ]

เราไม่ได้สนใจคู่ลำดับ เราสนใจแต่ห.ร.ม.ที่เกิดขึ้น
ดังนั้นถ้าเขียนเซตออกมาจะได้$C=\left\{\,30^3,2\times30^3,3\times 30^3,5\times 30^3,6\times 30^3,10\times 30^3,15\times 30^3,30\times 30^3 \right\} $
มีทั้งหมด 8 จำนวน

[tongkub]

ขอบคุณมากครับเข้าใจแล้วครับ ตอนแรกผมคิดว่าให้หาเซตของคู่ลำดับ ที่จริงแล้วหา หรม. ที่เป็นไปได้นี่เอง