จำนวนเชิงซ้อน(Complex number)

[No.Name]

อยากถามเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน น่ะครับศึกษามาปีกว่าๆและ ยังไม่เข้าใจเลยครับ

ขอเริ่มปัญหาแรกนะครับ "รากที่ n ของ 1"

สมมุติ หารากที่ 3 ของ 1

$1=1+0i$

$1=cos2\pi+isin2\pi$ (บรรทัดนี้ไม่ค่อยแน่ใจครับ )

$r_0=cos\dfrac{2\pi}{3}+isin\dfrac{2\pi}{3}$

$r_1=cos\dfrac{2\pi+2\pi}{3}+isin\dfrac{2\pi+2\pi}{3}=cos\dfrac{4\pi}{3}+isin\dfrac{4\pi}{3}$

$r_2=cos\dfrac{2\pi+4\pi}{3}+isin\dfrac{2\pi+4\pi}{3}=cos2\pi+isin2\pi$

แต่ตามที่ผมอ่านมันบอกว่า

$\omega=cis\dfrac{2\pi}{n}$

และถ้าแก้ในโจทย์จะได้ว่ารากที่ 3 ของ 1 เท่ากับ $cis\dfrac{2\pi}{3}$

ขอยกตัวอย่างจากโจทย์ TMO 5

จงหาจำนวนรากที่ n ของ 1 ทั้งหมดที่สามารถเป็นรากของสมการ $z^2+az+b=0$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ให้ $c$ เป็นรากเชิงซ้อนของพหุนามดังกล่าว จะได้ว่า

$c+\bar c =-a$,$b=c\bar c=|c|^2=1$

แต่เฉลยเขาบอกมาว่า $|a|\le2$

ผมไม่เข้าใจว่ามาได้ไงอ่ะครับ

พอมีแนวทางอย่างไรช่วยแนะนำด้วยละกันครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

$1=cos\pi+isin\pi$ (บรรทัดนี้ไม่ค่อยแน่ใจครับ )

ลองแทนค่าดูสิครับว่าได้อย่างที่เขียนไว้หรือเปล่า

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ลองแทนค่าดูสิครับว่าได้อย่างที่เขียนไว้หรือเปล่า

ขอบคุณมากครับ ต้องเปลี่ยนเป็น $2\pi$ ใช่ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ให้ $c$ เป็นรากเชิงซ้อนของพหุนามดังกล่าว จะได้ว่า

$c+\bar c =-a$,$b=c\bar c=|c|^2=1$

แต่เฉลยเขาบอกมาว่า $|a|\le2$

ผมไม่เข้าใจว่ามาได้ไงอ่ะครับ

พอมีแนวทางอย่างไรช่วยแนะนำด้วยละกันครับ

สมมติ $c=x+iy$ จะได้ $c+\overline{c}=2x$

ดังนั้น $|a|=2|x|\leq 2\sqrt{x^2+y^2}=2|c|=2$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สมมติ $c=x+iy$ จะได้ $c+\overline{c}=2x$

ดังนั้น $|a|=2|x|\leq 2\sqrt{x^2+y^2}=2|c|=2$

มายังไงหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ขอบคุณมากครับ ต้องเปลี่ยนเป็น $2\pi$ ใช่ไหมครับ

ใช่ครับ ใช้สูตรนี้ให้คล่องจำนวนเชิงซ้อนก็ไม่ยากแล้วครับ

$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สมมติ $c=x+iy$ จะได้ $c+\overline{c}=2x$

ดังนั้น $|a|=2|x|\leq 2\sqrt{x^2+y^2}=2|c|=2$

$x,y\in\mathbb{R}$

$c=x+iy$

$\overline{c}=x-iy$

$-a=c+\overline{c}=2x$

แต่ $x^2\leq x^2+y^2$ จึงได้ $|x|=\sqrt{x^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}=|c|=1$

ดังนั้น $|a|=|-a|=2|x|\leq 2|c|=2$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$x,y\in\mathbb{R}$

$c=x+iy$

$\overline{c}=x-iy$

$-a=c+\overline{c}=2x$

แต่ $x^2\leq x^2+y^2$ จึงได้ $|x|=\sqrt{x^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}=|c|=1$

ดังนั้น $|a|=|-a|=2|x|\leq 2|c|=2$

ขอบคุณครับที่สละเวลา

ลืมพิมพ์ว่าจะถามตรงบรรทัดที่สองครับ ขอโทษทีครับ

ตอนแรก $0 \le y^2$ ใช่ไหมครับ ถ้าใช่ก็โอเคแล้วครับ

แล้ว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช่ครับ ใช้สูตรนี้ให้คล่องจำนวนเชิงซ้อนก็ไม่ยากแล้วครับ $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

ผมไม่รู้ทั้งหมดเลยสูตรนี้น่ะครับ $e$ ผมยังไม่ทราบเลยครับ

[Amankris]

#8
ศึกษามาปีกว่าๆแล้ว แต่ไม่รู้จัก Euler's Formula เนี่ยนะ

เรียนจากไหนครับเนี่ย

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#8
ศึกษามาปีกว่าๆแล้ว แต่ไม่รู้จัก Euler's Formula เนี่ยนะ

เรียนจากไหนครับเนี่ย

ผมศึกษาเองครับ

[Amankris]

#10
จากไหนละครับ หนังสือสอวน.???

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#10
จากไหนละครับ หนังสือสอวน.???

ใช่ครับ พีชคณิต

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช่ครับ ใช้สูตรนี้ให้คล่องจำนวนเชิงซ้อนก็ไม่ยากแล้วครับ

$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula

Simply ที่สุด ก็ ใช้แคลก็ไ้ด้นะ