พิสูจน์ For All กับ For Some แนะนำหน่อยครับ

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ให้ $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นประโยคเปิด ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงหรือเป็นเท็จ
(ถ้าเป็นเท็จยกตัวอย่างประกอบ)

$1.\forall x[P(x)]\wedge \forall x[Q(x)]\equiv\forall x[P(x)\wedge Q(x)] $

$2.\exists x[P(x)]\wedge \exists x[Q(x)]\equiv\exists x[P(x)\wedge Q(x)] $

$3.\forall x[P(x)]\vee \forall x[Q(x)]\equiv\forall x[P(x)\vee Q(x)] $

$4.\exists x[P(x)]\vee \exists x[Q(x)]\equiv\exists x[P(x)\vee Q(x)] $

$5.\forall x[P(x)]\rightarrow \forall x[Q(x)]\equiv\forall x[P(x)\rightarrow Q(x)] $

$6.\exists x[P(x)]\rightarrow \exists x[Q(x)]\equiv\exists x[P(x)\rightarrow Q(x)] $

อยากทราบว่าเราจะมีวิธีพิสูจน์อย่างไรครับ ช่วยแนะนำหน่อยครับ

[tngngoapm]

หลักการคิดของผมก็คือ ประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณจะสามารถบอกค่าความจริงได้เป็นจริงหรือเท็จ ก็ขึ้นอยู่กับเซตของยูนิเวอร์ส ถ้าเราสามารถหาเซตของยูนิเวอร์สที่ทำให้ประโยคทั้งสองมีค่าความจริงไม่ตรงกัน ก็แสดงว่าประโยคทั้งสองไม่สมมูลกันครับ จะได้ว่าข้อ 1)และ 4) จริง นอกนั้น เท็จครับ ข้อที่เป็นเท็จมีรายละเอียดดังนี้(เลขหัวข้อไม่ตรงกับโจทย์นะครับ)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ขอบคุณครับ ว่าแต่ไปหามาจากไหนอ่ะครับ

[tngngoapm]

ใช้หลักการตารางการแจกแจงค่าความจริงทางตรรกศาสตร์แล้วพยายามเชื่อมโยงกับหลักการทางเซตนะครับ ถ้ามีข้อผิดพลาดตรงจุดไหน ชี้แนะด้วยนะครับ

[กิตติ]

ลองหาอ่าน Law of Quantifier Distribution
ผมเข้าใจว่าเกินหลักสูตรตรรกศาสตร์ม.ปลาย
Distribution of Quantifiers
over Conjunction and Disjunction

ผมจำแค่ว่า for all กระจายได้ผ่านตัวเชื่อม and กับ for some กระจายผ่านตัวเชื่อม or