มีโจทย์ความน่าจะเป็นให้ช่วยกันคิดหน่อยครับ

[zkritzo]

มีคู่สามีภรรยาอยู่ 10 คู่ นั่งรอบโต๊ะกลมเดียวกันในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครเลยที่ได้นั่งติดกับคู่ของตนเอง

อ่านเผินๆเหมือนจะง่ายอะครับ เอาเข้าจริงละนั่งงงนานเลย รบกวนผู้รู้ช่วยหน่อยนะค้าบ ขอทั้งวิธีทำ ได้คำตอบด้วยเลยก็ดีครับ

[analysisway]

ผมว่า หาจำนวนที่นั่งทั้งหมดคือ 19! แล้วลบออกด้วยจำนวนที่สามีภรรยานั่งติดกัน นั่นคือ มองเป็นคู่ได้ 10 คู่ ได้ 9! และสลับกับคู่ตัวเองอีก 2^ 10. ไม่มั่นใจนะครับ แต่คิดว่าคอนเซ้ปประมาณนี้

[Thamma]

มีคู่สามีภรรยาอยู่ 10 คู่ นั่งรอบโต๊ะกลมเดียวกันในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครเลยที่ได้นั่งติดกับคู่ของตนเอง

วิธีคิด

ให้ $\; A_i \;$ เป็นเซตของวิธีจัดให้คู่ที่ i นั่งติดกัน สำหรับ i = 1, 2, 3, ..., 10

$ P(A_i) =\frac {(19-1) ! \cdot 2!}{(20-1)! } = \frac {18! \cdot 2 }{19! } $

$ P(A_i \cap A_j)= \frac {(18-1) ! \cdot 2! \cdot 2!}{(20-1)! } = \frac {17! \cdot 2^2 }{19! } $

$ P(A_i \cap A_j\cap A_k )= \frac {(17-1) ! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! }{(20-1)! } = \frac {16! \cdot 2^3 }{19! } $
.
.
.

$ P(A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l \cap A_m \cap A_n \cap A_o \cap A_p \cap A_q \cap A_r) = \frac {9!\cdot 2^{10}}{19! } $


$ P(A_i \cup A_j\cup A_k \cup A_l\cup A_m \cup A_n \cup A_o\cup A_p \cup A_q\cup A_r) $
$ = \binom {10}{1} \frac {18! \cdot 2 }{19! } - \binom {10}{2}\frac {17! \cdot 2^2 }{19! } + \binom {10}{3}\frac {16! \cdot 2^3 }{19! } - ..... - \binom {10}{10} \frac {9!\cdot 2^{10}}{19! } $


Ans = $ 1 -\left[ \binom {10}{1} \frac {18! \cdot 2 }{19! } - \binom {10}{2}\frac {17! \cdot 2^2 }{19! } + \binom {10}{3}\frac {16! \cdot 2^3 }{19! } - ..... - \binom {10}{10} \frac {9!\cdot 2^{10}}{19! }\right]$

[zkritzo]

ขอบคุณทุกความเห็นมากนะค้าบ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ zkritzo

มีคู่สามีภรรยาอยู่ 10 คู่ นั่งรอบโต๊ะกลมเดียวกันในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครเลยที่ได้นั่งติดกับคู่ของตนเอง

อ่านเผินๆเหมือนจะง่ายอะครับ เอาเข้าจริงละนั่งงงนานเลย รบกวนผู้รู้ช่วยหน่อยนะค้าบ ขอทั้งวิธีทำ ได้คำตอบด้วยเลยก็ดีครับ

เป็นโจทย์ที่น่าสนใจมากครับ.........เลยอยากจะตอบ
น่าสนใจตรงที่ว่าผมอ่านวิธีทำของท่านอื่นๆที่ตอบมา.......ค่อนข้างดูยากและซับซ้อนครับ
ผมใช้วิธีหาแบบ.....ออกแบบการทำงาน(การนับ)ดังนี้ครับ
1) จับสามีของแต่ละคู่ออกมา......ทำการนั่งรอบโต๊ะกลม......ทำได้ $(10-1)!=9!$ วิธี
2) จับภรรยาคนที่ 1 ให้นั่งแทรกในโต๊ะซึ่งมีที่ว่างระหว่างผู้ชาย 10 คน นั่งได้ 10 ที่ แต่ห้ามนั่งติดสามีตัวเอง ลบออกไป 2 ที่ คือ นั่งได้ 8 ที่ หรือ $8$ วิธี
3) จับภรรยาคนที่ 2 .......มานั่งแทรกในโต๊ะโดยห้ามนั่งติดกับสามีตัวเอง ได้ $9$ วิธี(มีคนบนโต๊ะ 11 คน มีีที่ว่าง 11 ที่ ลบออก 2 ที่ติดกับสามีตัวเอง เหลือ 9 ที่)
4) จับภรรยาคนที่ 3 .......มานั่งแทรกในโต๊ะโดยห้ามนั่งติดกับสามีตัวเอง ได้ $10$ วิธี(มีคนบนโต๊ะ 12 คน มีีที่ว่าง 12 ที่ ลบออก 2 ที่ติดกับสามีตัวเอง เหลือ 10 ที่)
5) ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ........จนถึงภรรยาคนที่10.......มานั่งแทรกในโต๊ะโดยห้ามนั่งติดกับสามีตัวเอง ได้ $17$ วิธี(มีคนบนโต๊ะ 19 คน มีีที่ว่าง 19 ที่ ลบออก 2 ที่ติดกับสามีตัวเอง เหลือ 17 ที่)
รวมจัดคนนั่งได้ตามเงื่อนไขจากโจทย์ทั้งหมด $9!\cdot8\cdot9\cdot10\cdot...\cdot17$ วิธี
และจัดคนนั่งได้แบบไม่มีเงื่อนไขทั้งหมด $19!$ วิธี
$\therefore$ ความน่าจะเป็นเท่ากับ $\frac{9!\cdot8\cdot9\cdot10\cdot...\cdot17}{19!}$
$=\frac{8\cdot 9}{18\cdot 19}$
$=\frac{36}{171}$
$=\frac{4}{19}$

[polsk133]

#6 วิธีนี้ยังมี error อยู่ครับ ตรงที่ตอนวางภรรยาของสามีคนที่1 ยังสามารถวางติดกับสามีคนที่1ได้นะครับ เพราะหลังจากนี้เราก็ยังสามารถวางภรรยาของคนอื่นมาแทรกสองคนนี้ได้ แต่ที่คิดไว้ข้างบนกรณีนี้มันหายไปครับ