เหลือเศษเท่าไรครับ

[กิมจิ]

(2^100!-1)/100 เหลือเศษเท่าไรครับ คิดนานแล้วครับแต่คิดไม่ออก

[artty60]

ดูๆแล้ว$2^{100}!$น่าจะลงท้ายด้วย ...00

เพราะฉะนั้นเมื่อลบ1 ก็จะลงท้ายด้วย ...99

ดังนั้นเมื่อหาร100ก็จะเศษเท่ากับ 99

[Form]

โจทย์น่าจะหมายถึง $2^{100!}-1 $ หรือเปล่าครับ ?

[artty60]

$2^{10}\equiv 24 mod100$

$2^{100}\equiv 24^{10} mod100$

$24^2\equiv 76 mod100$

สังเกต$76^n\equiv 76 mod100$

$\therefore 2^{100!}\equiv 76 mod100$

ดังนั้นเศษคือ 76-1=75


ผู้รู้ช่วยตรวจสอบดู ไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะไม่ถนัดเรื่องmod

[กิตติ]

ผมว่าคำตอบของน้องอาร์ทโอเคครับ หลักการโอเคเลยครับ
ตั้งแต่ $10!$ ลงท้ายด้วย 00 ดังนั้นที่เหลือก็ง่ายแล้ว มันบังเอิญว่า $2^{100} \equiv 76 \pmod{100} $
ไม่ว่าจะยกกำลังเท่าไหร่ จะเหลือเศษ $76$
ดังนั้น $2^{100}-1 \equiv 75 \pmod{100} $