รบกวนถามผู้รู้เกี่ยวกับ congruence และจำนวนเฉพาะ

[หยินหยาง]

ผมขอถามโจทย์เกี่ยวกับ congruence และจำนวนเฉพาะ หน่อยนะครับพอดีคิดไม่ออกครับ
1. ถ้า m และ n เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จงพิสูจน์ว่า $ m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)} \equiv 1 \pmod{mn} $

2. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะและ $h+k = p-1$ เมื่อ $h \geq 0$ และ $k \geq 0$ จงพิสูจน์ว่า $h!k!+(-1)^{h} \equiv 0 \pmod{p}$

3. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $a^{p} \equiv b^{p} \pmod{p} $ จงพิสูจน์ว่า $a^{p} \equiv b^{p} \pmod{p^{2}} $

4. จงแสดงว่า ถ้า $p$ และ $p+2$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่แล้ว $4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p(p+2)} $

5. ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p > 2$ จงพิสูจน์ว่า $1^{2}*3^{2}*5^{2}***(p-2)^{2} \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2} } \pmod{p} $

รบกวนผู้รู้ช่วยตอบด้วยนะครับ ขอบคุณมากๆ ครับ

[nooonuii]

Hint :

1. ใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ และสังเกตว่า

$m^{\phi(n)}+n^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$

$m^{\phi(n)}+n^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{n}$

2. เลียนแบบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน

3. ใช้ผลพลอยได้ของ Fermat's Little Theorem จะได้

$a^p \equiv a \pmod{p}$

$b^p \equiv b \pmod{p}$

ดังนั้น $a\equiv b \pmod{p}\Rightarrow a=b+kp$ บาง $k$
โดยทฤษฎีบททวินามจะได้ว่า $a^p=(b+kp)^p=...$

4. ใช้ทฤษฎีบทของวิลสันพิสูจน์ว่า

$4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p}$

$4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p+2}$

5. เลียนแบบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Hint :

2. เลียนแบบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน

4. ใช้ทฤษฎีบทของวิลสันพิสูจน์ว่า

$4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p+2}$

5. เลียนแบบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน

ผมยังไม่ค่อยเข้าใจส่วนที่เหลือข้างบนครับ ช่วยแนะอีกนิดครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อ 2 กับ 5 เปลี่ยนจาก "เลียนแบบ" เป็น "ใช้" เลยดีกว่าครับ

2. $(p-1)!=h!(h+1)(h+2)\cdots (p-1)$

$=h!(p-k)(p-k+1)\cdots (p-1)$

$\equiv h!(-k)(-k+1)\cdots (-1)\pmod{p}$

$\equiv\cdots$

4. Wilson's Theorem

$(p+1)!\equiv -1\pmod{p+2}$

$(p+1)p(p-1)!\equiv - 1\pmod{p+2}$

$(-1)(-2)(p-1)!\equiv -1\pmod{p+2}$

$\vdots$

5. $(p-1)!=1\cdot 3\cdots (p-2)\cdot 2\cdot 4\cdots (p-1)$

$\equiv 1\cdot 3\cdots (p-2)\cdot (2-p)\cdot (4-p)\cdots (-1)\pmod{p}$

$\equiv\cdots$

[หยินหยาง]

ขอบคุณ คุณ nooonuii มากครับ ไว้คราวหน้าหากผมมีข้อสังสัยจะมาถามใหม่นะครับ