ข้อสอบ สมาคม พ.ศ.2553 ม.ต้น

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

วิธีของผมข้อ 40.


จาก $\dfrac{a+c}{a+b}=\dfrac{b+c}{a+c}$ จะได้ $(a+c)^2 = b^2 + ac + (a+c)b$

ให้ $ a+c = kb$ และ $a-c = qb $ จะได้ $a = (\frac{k+q}{2})b$ และ $c = (\frac{k-q}{2})b$

จึงได้ว่า $(kb)^2=b^2+(\frac{k+q}{2}) (\frac{k-q}{2})b^2 + (kb)b$ จัดรูปได้ $(3k-2)^2 = 16-3q^2$

นั่นคือ $k$ มีค่าเดียวก็ต่อเมื่อ $16-3q^2=0 \Leftrightarrow q = \pm \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ ซึ่งให้ค่า $(a+c):b = k = 2:3$ ค่าเดียว

มีคนมาถามผมว่า คำตอบ 4:3 ใช้ได้จริงหรือ คำตอบคือใช้ได้ เลยมาอธิบายครับ

ขออ้างอิงมาเพื่อให้สะดวกกับการพิจารณานะครับ
จากตรงที่ว่า $k$ มีค่าเดียวก็ต่อเมื่อ $16-3q^2=0 \Leftrightarrow q = \pm \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
ตรงนี้ยอมรับครับ แต่ปัญหาที่เกิดขึ้นคือ ถ้าสมมุติ $16-3q^2\not= 0$ แล้วเกิดอะไรขึ้น
คำตอบคือ k มีสองค่าซึ่งก็ตรงตามที่น้องเจมส์บอก
$แต่$ ถ้าเราทำให้ในสองค่านั้นมันใช้ไม่ได้ค่านึงล่ะ (นั่นสิ ตรงนี้น่าคิดนะ)
ปัญหาคือตัวที่ใช้ไม่ได้คืออะไรล่ะ ถ้าดูที่สมการแรก พบว่า $a+c$ ซึ่งเป็นตัวส่วนนั้นไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น k ย่อมไม่เท่ากับ 0 ด้วย
กลับมาที่สมการของเราต่อ $(3k-2)^2=16-3q^2$ ถ้าเราบีบให้คำตอบมี k=0 ด้วยแล้วจะได้
$(-2)^2=16-3q^2$ นั่นคือ $q=2,-2$ แทนกลับไป $(3k-2)^2=16-3(4)=8$ จะได้ $k=\frac{4}{3},0$
ซึ่ง 0 ใช้ไม่ได้ k จึงใช้ได้ค่าเดียวครับ

ปล.1 สำหรับคนที่งงว่าทำไมผมได้ไม่ตรงกับเจมส์ เพราะมันมีสองคำตอบนะครับ 2:3 กับ 4:3
ปล.2 ลองกลับไปอ่านปล.1
ปล.3 อย่าทำร้ายยผมน้า

[RT OSK]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มีคนมาถามผมว่า คำตอบ 4:3 ใช้ได้จริงหรือ คำตอบคือใช้ได้ เลยมาอธิบายครับ

ขออ้างอิงมาเพื่อให้สะดวกกับการพิจารณานะครับ
จากตรงที่ว่า $k$ มีค่าเดียวก็ต่อเมื่อ $16-3q^2=0 \Leftrightarrow q = \pm \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
ตรงนี้ยอมรับครับ แต่ปัญหาที่เกิดขึ้นคือ ถ้าสมมุติ $16-3q^2\not= 0$ แล้วเกิดอะไรขึ้น
คำตอบคือ k มีสองค่าซึ่งก็ตรงตามที่น้องเจมส์บอก
$แต่$ ถ้าเราทำให้ในสองค่านั้นมันใช้ไม่ได้ค่านึงล่ะ (นั่นสิ ตรงนี้น่าคิดนะ)
ปัญหาคือตัวที่ใช้ไม่ได้คืออะไรล่ะ ถ้าดูที่สมการแรก พบว่า $a+c$ ซึ่งเป็นตัวส่วนนั้นไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น k ย่อมไม่เท่ากับ 0 ด้วย
กลับมาที่สมการของเราต่อ $(3k-2)^2=16-3q^2$ ถ้าเราบีบให้คำตอบมี k=0 ด้วยแล้วจะได้
$(-2)^2=16-3q^2$ นั่นคือ $q=2,-2$ แทนกลับไป $(3k-2)^2=16-3(4)=8$ จะได้ $k=\frac{4}{3},0$
ซึ่ง 0 ใช้ไม่ได้ k จึงใช้ได้ค่าเดียวครับ

ปล.1 สำหรับคนที่งงว่าทำไมผมได้ไม่ตรงกับเจมส์ เพราะมันมีสองคำตอบนะครับ 2:3 กับ 4:3
ปล.2 ลองกลับไปอ่านปล.1
ปล.3 อย่าทำร้ายยผมน้า

ตอบ 4 : 3 ไม่ได้ครับ

ถ้า a = 5, b = 3, c = -1
ได้ a + c : b = 4 : 3
และ a - c : b = 2 : 1

ถ้า a = 1, b = 1, c = -1
ก็จะได้ a - c : b = 2 : 1 เหมือนกัน
แต่ a + c : b = 0 : 1

ทำให้มี a + c : b ได้ สอง คำตอบ

[กิตติ]

$a+c$ ไม่เท่ากับศูนย์ครับ เพราะตัวอัตราส่วนข้างหนึ่งมี$a+c$ เป็นตัวหารอยู่ ดังนั้นมันล็อคไปอัตโนมัติว่า $a+c$ เป็นศุนย์ไม่ได้
ดังนั้นที่ยกตัวอย่างมานั้นมันแย้งกับข้อกำหนดของโจทย์

[นักสืบอัจฉริยะ]

แง ได้น้อย

[RT OSK]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$a+c$ ไม่เท่ากับศูนย์ครับ เพราะตัวอัตราส่วนข้างหนึ่งมี$a+c$ เป็นตัวหารอยู่ ดังนั้นมันล็อคไปอัตโนมัติว่า $a+c$ เป็นศุนย์ไม่ได้
ดังนั้นที่ยกตัวอย่างมานั้นมันแย้งกับข้อกำหนดของโจทย์

อ่าน #77 ใหม่โดยละเอียดแล้ว
เข้าใจแล้วครับ ว่าทำไมตอบ 4:3 ได้
ขออภัยด้วย
เพราะดันไปปักหลักว่าน่าจะมีคำตอบเดียว (2:3)

แต่สงสัย ถ้าตอบ 4:3 ไป
สมาคมฯ จะเข้าใจ แล้วให้ถูกหรือเปล่า?

[James007]

ขอบคุณเพื่อนๆ พี่ๆ ทุกคนที่ช่วยกันคิดและหาคำตอบข้อ 40 ครับ

[premcz]

อยากได้วิธีทำข้อ31อ่ะค่ะ

[yellow]

โทรทัศน์ -------> x1 = ราคาขาย x2 = ทุน

ตู้เย็น+หม้อหุงข้าว -------> y1 = ราคาขาย y2 = ทุน

x1 + y1 = 1.25 (x2 + y2) ------------ (1)

1.1 (x1) + 0.9 (y1) = 1.3 (x2 + y2) ------------ (2)

สมการ (1) x 1.3 ----- 1.3 (x1) + 1.3 (y1) = 1.625 (x2 + y2) ------------ (3)

สมการ (2) x 1.25 ----- 1.375 (x1) + 1.125 (y1) = 1.625 (x2 + y2) ------------ (4)

สมการ (4) - (3) ----- 0.075 (x1) - 0.175 (y1) = 0

0.075 (x1) = 0.175 (y1)

x1 / y1 = 0.175 / 0.075 = 7/3

[premcz]

ขอบคุณน่ะค่ะ

สมาคมยากๆๆๆๆๆๆๆมาก หนูไม่เข้าใจๆๆ

[winwin]

ข้อ 40
มองเฉพาะ จากที่โจทย์กำหนดมา หากคิดอย่างตรงๆ
จาก a+c : a+b = b+c : a+c
จะได้ 1 = (b+c)/(a+c) *(a+b)/(a+c)

ดังนั้น b=a และ b=c

จึงได้ว่า a+c : b = 2b : b = 2

[Amankris]

#86
สรุป b=a และ b=c เร็วไปหรือเปล่าครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

มีใครช่วยเฉลยข้อ 34 ได้ไหมครับ ยังงงๆอ่าครับ

[กิตติ]

ข้อ34....คิดได้ $y^2=18^2=324$

Mysol

$\dfrac{x^2+25xy+53}{y^2+xy+9}=28 $
$x^2+25xy+53=28y^2+28xy+252 $
$x^2-3xy-28y^2=199$
$(x-7y)(x+4y)=199$
เนื่องจาก $199$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจะได้ว่า
$x-7y=1,x+4y=199$ หรือ
$x-7y=199,x+4y=1$
แก้สมการสองตัวแปรสองสมการ...คงไปต่อได้เองนะครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

อ่อ ได้แล้วครับ
ขอบคุณคุณกิตติมากครับ

[คนอยากเก่ง]

รบกวนข้อ 11 ด้วยครับ