สมการตรีโกณครับ

[catengland]

ผมมีสมการตรีโกณอยู่หนึ่งสมการคือ
$a=bsin\theta +ccos\theta $ ผมต้องการวิธีหาค่า $\theta$ หลายๆ วิธีครับ
มีวิธีที่คิดได้วิธีหนึ่งคือ
$(a-bsin\theta)^2=(ccos\theta)^2$
$a^2-2absin\theta+b^2{sin^2{\theta}}=c^2(1-sin^2{\theta})$
ทำการกระจายแล้วจัดรูปจะได้
$(b^2+c^2)sin^2{\theta}-2absin\theta+(a^2-c^2)=0$
จะได้ $sin\theta=\frac{2ab\pm \sqrt{4a^2{b^2}-4(b^2+c^2)(a^2-c^2)}}{2(b^2+c^2)}$
ผมอยากได้แนวทางอื่นในการหาค่า $\theta$ จากโจทย์ข้อนี้ ช่วยหน่อยนะครับ

[Euler-Fermat]

ลอง ไถๆดูครับ
$a = b\sin\theta + c\cos\theta =\sqrt{b^2+c^2}\sin(\theta+\tan^{-1}(\frac{c}{b}))$
$\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}} = \sin(\theta+\tan^{-1}(\frac{c}{b})$
$sin^{-1}(\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}) = \theta+\tan^{-1}(\frac{c}{b})$
$\theta = sin^{-1}(\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}})-\tan^{-1}(\frac{c}{b})$
ถ้าจะให้ สวย กว่านี้ ก็เปลี่ยน$ sin^{-1}(\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}})$ เป็น $\tan$ แล้ว ใช้สูตรผลบวก

[catengland]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ลอง ไถๆดูครับ
$a = b\sin\theta + c\cos\theta =\sqrt{b^2+c^2}\sin(\theta+\tan^{-1}(\frac{c}{b}))$

มายังไงอะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

ผมมีสมการตรีโกณอยู่หนึ่งสมการคือ
$a=bsin\theta +ccos\theta $ ผมต้องการวิธีหาค่า $\theta$ หลายๆ วิธีครับ
มีวิธีที่คิดได้วิธีหนึ่งคือ
$(a-bsin\theta)^2=(ccos\theta)^2$
$a^2-2absin\theta+b^2{sin^2{\theta}}=c^2(1-sin^2{\theta})$
ทำการกระจายแล้วจัดรูปจะได้
$(b^2+c^2)sin^2{\theta}-2absin\theta+(a^2-c^2)=0$
จะได้ $sin\theta=\frac{2ab\pm \sqrt{4a^2{b^2}-4(b^2+c^2)(a^2-c^2)}}{2(b^2+c^2)}$
ผมอยากได้แนวทางอื่นในการหาค่า $\theta$ จากโจทย์ข้อนี้ ช่วยหน่อยนะครับ

$a = \frac{2bx}{1+x^2}+\frac{c(1-x^2)}{1+x^2}$

เมื่อ $x = \ tan\frac{\theta}{2}$

จัดรูปได้เป็น $(a+c)x^2-2bx+(a-c)=0$

ดังนั้น $x = \frac{b \pm \sqrt{a^2-c^2}}{a+c}$

$\frac{\theta}{2} = \frac{b \pm \sqrt{a^2-c^2}}{a+c}$

$\theta = 2(n\pi + arctan(\frac{b \pm \sqrt{a^2-c^2}}{a+c}))$