กำลังสามสมบูรณ์ Help me plz - -

[Influenza_Mathematics]

คิดไม่ออกอ่ะ

หาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ $p^2-p+1$ เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

คือ วิธีผม มันไม่มีคำตอบน่ะครับ
จาก $p^2-p+1 = k^3$ พบว่า $k$ เป็นเลขคี่
ดังนั้น $k = 2n+1$
จึงได้ $p^2-p+1 = 8n^3+12n^2+6n+1$
เเละ $~~$ $= 2n(4n^3+6n+3)$
ซึ่ง $2n < 4n^2+6n^+3$
จะได้ $p-1=2n$ เเละ $p=4n^2+6n^+3$
พอเเก้สมการเเล้ว
มันไม่มีคำตอบ $n $ ที่เป็นจำนวนเต็มเลย
ปล. ไม่ค่อยเเน่ใจนะครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DEK [T]oR J[O]r [W]aR

คือ วิธีผม มันไม่มีคำตอบน่ะครับ
จาก $p^2-p+1 = k^3$ พบว่า $k$ เป็นเลขคี่
ดังนั้น $k = 2n+1$
จึงได้ $p^2-p+1 = 8n^3+12n^2+6n+1$
เเละ $~~$ $= 2n(4n^3+6n+3)$
ซึ่ง $2n < 4n^2+6n^+3$
จะได้ $p-1=2n$ เเละ $p=4n^2+6n^+3$
พอเเก้สมการเเล้ว
มันไม่มีคำตอบ $n $ ที่เป็นจำนวนเต็มเลย
ปล. ไม่ค่อยเเน่ใจนะครับ

มายังไงครับ

[{ChelseA}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มายังไงครับ

$p^2-p$=$p(p-1)$

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ก็จากบันทรรด บนไงครับ ที่$2n < 4n^2+6n+3$
โดยค่า $n$ $p$ เป็นจำนวนเต็ม จึงเเยกเป็นแบบนั้น

[Amankris]

ผมว่าที่ #3 เค้าถาม คือทำไมถึงสรุปว่ามันเท่ากันต่างหาก

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ก็มันมีโอกาสเกิดได้ในกรณีข้างต้น กรณีเดียวนี่ครับ
เพราว่า มันเป็นจำนวนเต็ม หรือผมเข้าใจอะไรผิด

[LightLucifer]

แล้วถ้า $n=ab$
แล้ว
$p-1=2a$ , $p=b(4n^2+6n+3)$ หล่ะผิดไหมครับ

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

แล้วถ้า $n=ab$
แล้ว
$p-1=2a$ , $p=b(4n^2+6n+3)$ หล่ะผิดไหมครับ

คือ $p= b(4a^2b^2+6ab+3)$ เเละ $p-1=2a$
คือ $p = 2a+1$ $\Rightarrow $ $2a+1=4a^2b^3+6ab^2+3b $
$0=(4b^3)a^2 + (6b^2-2)a + (3b-1)$
discreminant $\rightarrow$ $(6b^2-2) - 4(4b^3)(3b-1) \geqslant 0 $
เลยได้ $0\geqslant$ $(b-\frac{2}{3})^2 + \frac{14}{9}$

$b \not\in \mathbb{R} $ ก็ไม่น่าจะใช้ได้น่ะครับ
เเก้ครับเเก้ มี $p$ ที่เป็นจริงอะครับ(น่าจะมีตัวเดียวด้วย) เเต่จะหามาได้อย่างไร ??

[LightLucifer]

555+
กรณีของผมมันไม่จริงอยู่แล้วครับ
เพราะ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แค่อยากจะยกให้เห็นว่า น่าจะ claim ส่วนนี้มาด้วยน่ะครับ

[banker]

หลวงปู่มาเข้าฝันว่า

$19^2-19+1 = 7^3$

หลวงปู่ว่า ไปหาที่มาเอาเอง

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

หลวงปู่มาเข้าฝันว่า

$19^2-19+1 = 7^3$

หลวงปู่ว่า ไปหาที่มาเอาเอง

เพราะ $(2n,4n^2+6n+3)=(2n,3)=1,3$
กรณีที่เท่ากับ 1 ก็จะได้เหมือนกรณีที่คุณ DEK [T]oR J[O]r [W]aR ได้แสดงไว้
กรณีที่ เท่ากับ 3
จะได้ว่า $3|2n$ แต่ $3\nmid 2$ ดังนั้น $3|n$ นั่นคือ $n=3m$
แทนค่าจะได้
$p(p-1)=6m(36m^2+18m+3)$
$p(p-1)=(18m)(12m^2+6m+1)$
แต่ $(3,12m^2+6m+1)=1$และ$(2m,12m^2+6m+1)=1$
ดังนั้น$(18m,12m^2+6m+1)=1$
จะได้ $p-1=18m$ และ $p=12m^2+6m+1$
แล้วก็แก้สมการ

ปล หลวงปู่ฝันยังไงครับ สอน หน่อย เผื่อจะเอาไปใช้นอนในห้องสอบ
ปล 2 คุณ Influenza_Math หาโจทย์มาจากไหนหรือครับ

[กิตติ]

ลุงBankerกลับมาแล้ว....บอกหน่อยว่าเราหาคำตอบได้ยังไง คิดแล้วไม่ออก มีใครพอจะทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[Amankris]

@#12
ไม่เข้าใจว่า หรม. เป็น 1 แล้วสรุปว่ามันเท่ากันได้ยังไง

[LightLucifer]

ก็ $(p,p-1)=1$ และ $p-1$ เป็นเลขคู่(กรณีที่ p=2 มันไม่จริง) อ่ะครับ