ช่วยหน่อยครับ

[วิหก]

ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{ab+bc+cd}$$

[nooonuii]

ไม่แน่ใจว่ามีค่าต่ำสุดรึเปล่าเำพราะมันขาด $da$ ไป

โดยอสมการโคชีเราได้ว่า

$ab+bc+cd<ab+bc+cd+da\leq a^2+b^2+c^2+d^2$

ดังนั้น $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}>1$

ได้แค่นี้ครับ

[RoSe-JoKer]

มีค่าต่ำสุดแน่นอนครับ ค่าต่ำสุดของมันคือ $\sqrt{5}-1$
อสมการเป็นสมการเมื่อ
$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$b=1$
$c=1$
$d=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

[วิหก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

มีค่าต่ำสุดแน่นอนครับ ค่าต่ำสุดของมันคือ $\sqrt{5}-1$
อสมการเป็นสมการเมื่อ
$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$b=1$
$c=1$
$d=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

ทำไมจึงได้ครับ
$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$b=1$
$c=1$
$d=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
ผมไม่เข้าใจ

[RoSe-JoKer]

.....จริงๆแล้วเฉลยมันน่าจะมีอยู่ด้านหลังๆของหนังสือไม่ใช่หรอครับ?

[God Phoenix]

แนวคิดคืออย่างนี้ครับ

สมมติ $0<x,y<1$

$a^2+xb^2 \geq 2 \sqrt {x}ab $
$(1-x)b^2+yc^2 \geq \sqrt {(1-x)y}bc$
$(1-y)c^2+d^2 \geq \sqrt {1-y}cd$

แล้วหาค่า x,y ซึ่ง $\sqrt {x}=\sqrt {(1-x)y}=\sqrt {1-y}$

จะได้ $x= \frac {3-\sqrt {5}}{2},y= \frac {\sqrt {5}-1}{2}$

เมื่อนำสามสมการบวกกันจะได้
$a^2+b^2+c^2+d^2 \geq (\sqrt {5}-1)(ab+bc+cd) $

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

.....จริงๆแล้วเฉลยมันน่าจะมีอยู่ด้านหลังๆของหนังสือไม่ใช่หรอครับ?

ใช่ครับ ตอนที่ผมดูเฉลยครั้งแรกผมรู้สึกว่าคนเฉลยต้องเป็น

..

ขงเบ้งแน่นๆ เลยครับ

เพราะด้วยสติปัญญาผมคงไม่้สามารถคิดวิธีนี้ออกแน่เลยครับ ปัญหาของผมก็คือผมจะรู้ได้อย่างไรจะต้องเริ่มต้นด้วยอะไร หรือรู้ได้อย่างไรว่าจะต้องแทน
a =..., b =..., ถ้าเป็นไปได้ช่วยชี้แนะด้วยว่าตัวเลขเหล่านั้นมีที่มาอย่างไรหรือมาจากการสังเกต หรือมาจากประสบการณ์ล้วนๆ ครับ