|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ฟังก์ชันพหุนาม
ให้ P(x)=(x-1)(x-2)...(x-8)(x-100)
จงหาสัมประสิทธิ์ของ x ช่วยหน่อยครับ มีวิธีทำที่ง่ายๆมั๊ยครับ 15 มกราคม 2012 12:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#2
|
||||
|
||||
สัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-8)$ คือ $-(\frac{8!}{1} + \frac{8!}{2} + ... + \frac{8!}{8}) = -8!\times (1+1/2+1/3+...+1/8) = -8!\times \frac{761}{280}$
ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(x-1)(x-2)...(x-8)(x-100) = (x^8 +... - \frac{(761)8!}{280}x + 8!)(x-100) $ คือ $\frac{(761)(8!)}{270}\times 100 + 8! = \frac{(8!)(3819)}{14}$ อ้างอิง:
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 15 มกราคม 2012 22:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: ลบ (-1)^n ออก |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จากการสังเกตดูเหมือนสปส.ของ$x^{n-2}$ หาจาก (-1)$\frac{n!}{2!(n-2)!}$คูณกับ(ผลรวมของตัวเลขคูณกันเป็นคู่ๆ ของเลข 1 ถึง n เช่น $(1*2)+(1*3+...+(1*n)+(2*3)+(2*4)+...+(2*n)+(3*4)+...+(3*n)+...+...+(n-1)n)$ ไปต่อไม่เป็นแล้วครับ มึนไปหมดแล้ว 15 มกราคม 2012 20:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#4
|
||||
|
||||
โอ๊ะ ผมเขียนเครื่องหมายผิดนิดนึง ต้องตัด $(-1)^n$ ทิ้ง เผอิญติดพัน ไปหยิบเครื่องหมายของ $a_2$ มาใส่แทน วิธีคิดแบบหนึ่งก็คือการหาผลรวมของผลคูณที่จับคู่ แบบที่เขียนไว้นั้นล่ะครับ ซึ่งเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้เป็น $$a_{n-2}=\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} ij$$ จากนั้นเมื่อคำนวณออกมา ก็จะได้ค่าข้างต้นน่ะครับ.
เล่นซิกมาเป็นหรือเปล่าครับ. |
#5
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ
เรื่องซิกม่าเดี๋ยวขอไปศึกษาดูก่อน สงสัยแล้วจะมาเรียนถามอีกทีนะครับ |
#6
|
||||
|
||||
วิธีซิกมาอาจจะดูยากไปสักนิด แต่ถ้าทำได้แสดงว่าเข้าใจหลักการครบสมบูรณ์ทุกอย่าง
วิธีที่ 2 นี้ง่ายกว่าเยอะ ลองดูรูปนี้ดูดี ๆ ครับ แล้วจะเห็นความลับที่ซุกซ่อนอยู่. Note. $$\sum_{i=1}^n(i) = \frac{n(n+1)}{2}$$$$\sum_{i=1}^n(i^2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 16 มกราคม 2012 13:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: เพิ่มสูตร |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ก็จะได้เป็น $\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^n(i^3)-\sum_{i=1}^n(i^2))$ ใช่มั๊ยครับ |
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x^{n-2}$ นะครับ. ที่จริงแล้ว ยังมีแนวคิดวิธีที่ 3. ซึ่งเป็นแนวทางพีชคณิตอีกแบบหนึ่ง ซึ่งถ้ามองเห็นแนวคิดนี้ออกเมื่อไร ก็จะหาค่าของ $a_{n-2}$ ได้อย่างง่ายดายยิ่งกว่าวิธีที่ 2 ครับ (ที่จริงแล้ว วิธีที่ 2 ก็ซ่อนแนวนิดของวิธีที่ 3 ไว้ในตัวอยู่แล้ว ลองเพ่งดูดี ๆ ครับ แล้วจะเห็นความลับสววรค์อีกครั้ง ) อ้างอิง:
|
#9
|
||||
|
||||
ไม่ get ภาพอะครับ - -" รบกวนอธิบายทีครับ
|
#10
|
||||
|
||||
ผลรวมของจำนวนต่าง ๆ ในรูปสามเหลี่ยมด้านบนกับด้านล่าง จะมีเท่ากันคือ $a_{n-2}$ นั่นเองและเ้ป็นสิ่งที่เราต้องการหาครับ
ส่วนในแนวทแยงมุม จะมีผลบวกเป็น $1^2+2^2+3^2$ (สมมติว่าเป็น $(x-1)(x-2)(x-3)$) คราวนี้ ถ้าเรานำจำนวนทั้งหมดในตารางมาบวก กัน เช่น $(1)(1) + (1)(2) + (1)(3) + (2)(1) + (2)(2) + (2)(3) + (3)(1) + (3)(2) + (3)(3) = (1+2+3)(1+2+3) = (1+2+3)^2 $ ก็คือ $2a_{n-2} + (1^2+2^2+3^2) = (1+2+3)^2$
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 16 มกราคม 2012 22:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#11
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ใช้พีชคณิต แล้วง่ายกว่าจริงๆ $a_{n-3}=\frac{1}{6}[(\sum_{1}^{n}n)^3-2(\sum_{1}^{n}n^2\cdot \sum_{1}^{n}n) +\sum_{1}^{n}n^3]$ ยอดเลยครับ ขอบคุณคุณ gon มากครับ เอ!แต่ไม่รู้ผิดรึเปล่าเพราะเริ่มมึนน่ะครับ 17 มกราคม 2012 10:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมคงไม่ตั้งคำถามต่อแล้วครับ เพราะถ้าจะถามตอบต่อก็คงเป็น $a_{n-4}$ ซึ่งผมขอเก็บไว้เป็นความลับสำหรับผู้ที่อยากค้นหาจริง ๆ ก็แล้วกันครับ. |
#13
|
|||
|
|||
ว่าแล้วเชียว มึนจริงๆด้วย
|
#14
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$-\frac{1}{6}[(\sum_{i = 1}^{n}(i))^3-3(\sum_{i = 1}^{n}(i)\cdot \sum_{i = 1}^{n}(i^2)+2(\sum_{i = 1}^{n}(i))^2]$ หรือ$-\frac{\sum_{i=1}^{n}(i^3)-\sum_{i=1}^{n}(i)\sum_{i=1}^{n}(i^2)-a_{n-2}a_{n-1}}{3}$ หรือ $-\frac{(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2}{48}$ 18 มกราคม 2012 07:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สำหรับ $a_{n-4}$ อันนี้ผมก็ตั้งสมการไว้เท่ ๆ แต่ยังไม่ตรวจสอบเหมือนกันครับ ยังไม่มีอารมณ์จัดรูป (ในรูปนี้ เครื่องหมายของ $a_{i}$ ใช้เป็นบวกทั้งหมด) ก็น่าจะได้ประมาณว่า$$a_{n-4} = a_{n-3}a_{n-1} + \frac{2(a_{n-2}-a_{n-1}^2)^2 -\sum i^4}{4}$$ |
|
|