ถอดrootก่อน มาบวกกัน กับบวกกันแล้วค่อยถอดroot

[banker]

จำนวนนับใดๆ ถ้าเราถอด root ก่อน แล้วเอามาบวกกัน
กับเอามาบวกกันก่อน แล้วค่อยถอด root
คุณว่าอันไหนจะมากกว่ากัน

เช่นถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนนับแล้ว
$\sqrt{a} $ + $\sqrt{b} $ + $\sqrt{c} $ + $\sqrt{d} $ กับ $\sqrt{a + b + c + d} $ อันไหนจะมากกว่ากัน

แล้วถ้าเป็น
$\sqrt[3]{a} $ + $\sqrt[3]{b} $ + $\sqrt[3]{c} $ + $\sqrt[3]{d} $ กับ $\sqrt[3]{a + b + c + d} $ จะยังเป็นความจริงแบบข้างต้นไหม


สุดท้าย ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นจำนวนนับ) คำตอบจะยังเหมือนเดิมไหม


หมายเหตุ เพิ่งแว๊บความคิดขึ้นมา ยังไม่ได้หาคำตอบ
ช่วยกันหาคำตอบ ถ้าใช้ความรู้ระดับ ม.ต้น ได้ก็ดี

[Scylla_Shadow]

สำหรับในรูท แยกเดี่ยวมากกว่าหรือเท่ากับพวกรวมกลุ่ม เมื่อกำหนดว่าเป็นจำนวนนับ
แต่ถ้าไม่กำหนดอะไรเลย สรุปไม่ได้เด็ดขาด

[หมาป่าขาว]

ถ้าเป็นจำนวนนับ ถอดก่อนจะมากกว่าหรือเท่ากับบวกก่อน แต่ถ้าเป็นจำนวนจริงก็ไม่แน่ครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

จำนวนนับใดๆ ถ้าเราถอด root ก่อน แล้วเอามาบวกกัน
กับเอามาบวกกันก่อน แล้วค่อยถอด root
คุณว่าอันไหนจะมากกว่ากัน

เช่นถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนนับแล้ว
$\sqrt{a} $ + $\sqrt{b} $ + $\sqrt{c} $ + $\sqrt{d} $ กับ $\sqrt{a + b + c + d} $ อันไหนจะมากกว่ากัน
สุดท้าย ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นจำนวนนับ) คำตอบจะยังเหมือนเดิมไหม

พิสูจน์ จาก Cauchy-Schwarz
$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n\leqslant \sqrt{x^2_1+x^2_2+..+x^2_n}\sqrt{y^2_1+y^2_2+...+y^2_n}$

ดังนั้น
$\sqrt{a}(1)+\sqrt{b}(1)+\sqrt{c}(1)+\sqrt{d}(1)\leqslant \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{a+b+c+d}
$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$

นั่นคือยังมิอาจสรุปได้ว่า $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ หรือ $\sqrt{a+b+c+d}$ ว่าค่าใดมากกว่ากัน


ในกรณีนี้ Fix!! ไว้แล้ว ว่า a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

พิสูจน์ จาก Cauchy-Schwarz
$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n\geqslant \sqrt{x^2_1+x^2_2+..+x^2_n}\sqrt{y^2_1+y^2_2+...+y^2_n}$

ดังนั้น
$\sqrt{a}(1)+\sqrt{b}(1)+\sqrt{c}(1)+\sqrt{d}(1)\geqslant \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{a+b+c+d}$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\geqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$ $\geqslant \sqrt{a+b+c+d}$

ในกรณีนี้ Fix!! ไว้แล้ว ว่า a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

ขอบคุณครับ
ผมลองแทนค่าจำนวนนับ(จำนวนเต็มบวก)ในสมการสุดท้ายนะครับ

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\geqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$

$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\geqslant 2\sqrt{1+2+3+4}$

$1+1.4142+1.7321+2\geqslant 2\sqrt{10}$

$6.1463 \geqslant 2\times 3.16227766$

$6.1463 \geqslant 6.32455532$

[Scylla_Shadow]

ขออภัยใส่เครื่องหมายผิดครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

พิสูจน์ จาก Cauchy-Schwarz
$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n\leqslant \sqrt{x^2_1+x^2_2+..+x^2_n}\sqrt{y^2_1+y^2_2+...+y^2_n}$

ดังนั้น
$\sqrt{a}(1)+\sqrt{b}(1)+\sqrt{c}(1)+\sqrt{d}(1)\leqslant \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{a+b+c+d}
$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$

นั่นคือยังมิอาจสรุปได้ว่า $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ หรือ $\sqrt{a+b+c+d}$ ว่าค่าใดมากกว่ากัน


ในกรณีนี้ Fix!! ไว้แล้ว ว่า a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

ขอบคุณครับ แต่ยังค้างคาใจอสมการนี้ ครับ

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$

ถ้าจำนวนนับเป็นตัวเดียว(ไม่ใช่หลายๆตัวบวกกัน)

$\sqrt{1}\leqslant 2\sqrt{1}$

$\sqrt{2}\leqslant 2\sqrt{2}$

.
.
.

จำนวนนับ 2 ตัว
$\sqrt{1}+\sqrt{2}\leqslant 2\sqrt{1+2}$
.
.
.


ผมยังหาจำนวนนับ ไม่ว่าตัวเดียวหรือหลายตัวบวกกัน ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง (เท่ากันทั้งสองข้าง)

($\leqslant $ แปลว่าเท่ากับหรือน้อยกว่า)

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ขอบคุณครับ แต่ยังค้างคาใจอสมการนี้ ครับ

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$

ถ้าจำนวนนับเป็นตัวเดียว(ไม่ใช่หลายๆตัวบวกกัน)

$\sqrt{1}\leqslant 2\sqrt{1}$

$\sqrt{2}\leqslant 2\sqrt{2}$

.
.
.

จำนวนนับ 2 ตัว
$\sqrt{1}+\sqrt{2}\leqslant 2\sqrt{1+2}$
.
.
.


ผมยังหาจำนวนนับ ไม่ว่าตัวเดียวหรือหลายตัวบวกกัน ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง (เท่ากันทั้งสองข้าง)

($\leqslant $ แปลว่าเท่ากับหรือน้อยกว่า)

ครับ ใน case นั้น คือ ซึ่งถ้าเราใช้โคชี

เราก็จะได้ว่า
$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}+...+\sqrt{x_n}\leqslant \sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2+x_3+...+x_n}$

ครับ
ได้ว่า
$\sqrt{x_1}\leqslant 1\sqrt{x_1}$
$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\leqslant \sqrt{2}\sqrt{x_1+x_2}$
$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3} \sqrt{3}\sqrt{x_1+x_2+x_3}$.... อ่ะครับ

[banker]

ไปsearch คำว่า Cauchy–Schwarz inequality แล้วเมาออกมา

มันเกินความรู้ ม. ต้นไปแยะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

จำนวนนับใดๆ ถ้าเราถอด root ก่อน แล้วเอามาบวกกัน
กับเอามาบวกกันก่อน แล้วค่อยถอด root
คุณว่าอันไหนจะมากกว่ากัน

เช่นถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนนับแล้ว
$\sqrt{a} $ + $\sqrt{b} $ + $\sqrt{c} $ + $\sqrt{d} $ กับ $\sqrt{a + b + c + d} $ อันไหนจะมากกว่ากัน

แล้วถ้าเป็น
$\sqrt[3]{a} $ + $\sqrt[3]{b} $ + $\sqrt[3]{c} $ + $\sqrt[3]{d} $ กับ $\sqrt[3]{a + b + c + d} $ จะยังเป็นความจริงแบบข้างต้นไหม


สุดท้าย ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นจำนวนนับ) คำตอบจะยังเหมือนเดิมไหม


หมายเหตุ เพิ่งแว๊บความคิดขึ้นมา ยังไม่ได้หาคำตอบ
ช่วยกันหาคำตอบ ถ้าใช้ความรู้ระดับ ม.ต้น ได้ก็ดี

ถ้า $n$ เป็นจำนวนนับ และ $x_1,...,x_k$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ แล้ว

$\sqrt[n]{x_1}+\sqrt[n]{x_2}+\cdots +\sqrt[n]{x_k}\geq \sqrt[n]{x_1+x_2+\cdots + x_k}$

พิสูจน์ได้ง่ายมาก ลองยกกำลัง $n$ ทั้งสองข้างดูสิครับ แต่ิอาจจะใช้ความรู้เกินม.ต้นนิดหน่อย

ตรงที่ต้องใช้ Multinomial Theorem

หลังจากยกกำลัง $n$ แล้วจะได้

$x_1+x_2+\cdots + x_k + Y\geq x_1+x_2+\cdots +x_k$

เมื่อ $Y$ เป็นก้อนยุ่งๆก้อนหนึ่ง แต่โดยรวมแล้ว $Y\geq 0$

ดังนั้นอสมการจริงครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $n$ เป็นจำนวนนับ และ $x_1,...,x_k$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ แล้ว

$\sqrt[n]{x_1}+\sqrt[n]{x_2}+\cdots +\sqrt[n]{x_k}\geq \sqrt[n]{x_1+x_2+\cdots + x_k}$

พิสูจน์ได้ง่ายมาก ลองยกกำลัง $n$ ทั้งสองข้างดูสิครับ แต่ิอาจจะใช้ความรู้เกินม.ต้นนิดหน่อย

ตรงที่ต้องใช้ Multinomial Theorem

หลังจากยกกำลัง $n$ แล้วจะได้

$x_1+x_2+\cdots + x_k + Y\geq x_1+x_2+\cdots +x_k$

เมื่อ $Y$ เป็นก้อนยุ่งๆก้อนหนึ่ง แต่โดยรวมแล้ว $Y\geq 0$





ดังนั้นอสมการจริงครับ

ขอบคุณครับ แบบนี้พอเข้าใจครับ (แม้ยังไม่เข้าใจMultinomial Theorem)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

รู้จัก Multinomial Theorem มั้ยครับ ถ้ายังไม่รู้จักไม่เป็นไรครับเพราะกำลังจะได้รู้จักแล้ว

Multinomial Theorem $$(X_1+\cdots +X_m)^n=\sum_{k_1,k_2,...,k_m}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$$
เมื่อ $k_i\geq 0$ และ $k_1+k_2+\cdots + k_m=n$

ตัวอย่าง $(X+Y+Z)^3=X^3+Y^3+Z^3 +3X^2Y+3X^2Z+3XY^2+3XZ^2+3Y^2Z+3YZ^2+6XYZ$

http://www.mathcenter.net/forum/show...nomial+Theorem



โดยสรุปได้ว่า

$\sqrt[n]{a} $ + $\sqrt[n]{b} $ + $\sqrt[n]{c} $ + $\sqrt[n]{d} + .....\sqrt[n]{z} \geqslant \sqrt[n]{a + b + c + d +.......z} $
สำหรับทุกค่าที่ n เป็นจำนวนนับ และ a b c d ....z เป็นจำนวนจริงบวก

[Best ST]

โคชี คือ อะไรครับ