TMC ช่วยคิดข้อนี้หน่อยนะคะ (เศษส่วนย่อย)

[TheMintoRB]

$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}$$

สามารถเขียนได้ในรูป $$\frac{p+qx+rx^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$

จงหาค่าของ $7p+8q+9r$

ข้อนี้เอามาจาก tmc ช่วยคิดหน่อยนะค่ะ

[Night Baron]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TheMintoRB

$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}$$

สามารถเขียนได้ในรูป $$\frac{p+qx+rx^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$

จงหาค่าของ $7p+8q+9r$

ข้อนี้เอามาจาก tmc ช่วยคิดหน่อยนะค่ะ

ผมลองถึกดูนะครับ ได้ $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}$ = $(a-b)(b-c)(a-c)x^2$
จะได้ 7p+8q+9r=9

[TheMintoRB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Night Baron

ผมลองถึกดูนะครับ ได้ $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}$ = $(a-b)(b-c)(a-c)x^2$
จะได้ 7p+8q+9r=9

ช่วยแสดงวิธีคิดละเอียดๆหน่อยได้ไหมค่ะ ตอนที่แปลงเป็นรูป $(a-b)(b-c)(a-c)x^2$ อ่ะค่ะ มันมาได้ยังไงหรอค่ะ
ช่วยชี้แนะด้วยค่าาา

[yellow]

ผมยังไม่ได้คิดละเอียดนะครับ เท่าที่ดู วิธีถึก คงเป็นแบบนี้ครับ


$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}$$

$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{-(a-b)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{-(a-c)-(b-c)(x-c)}$$

$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)} - \frac{b^2}{(a-b)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(a-c)(b-c)(x-c)}$$

$$\frac{a^2(b-c)(x-b)(x-c) - b^2(a-c)(x-a)(x-c) + c^2(a-b)(x-a)(x-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)(x-a)(x-b)(x-c)}$$

กระจายแบบถึกๆ เสร็จแล้ว น่าจะเหลือแค่นี้

$$\frac{x^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$

[artty60]

มาต่อให้เสร็จครับสุดท้ายมาเทียบได้ $x^2=rx^2+qx+p$

$r=1;p,q=0\quad\quad\therefore 7p+8q+9r=9$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TheMintoRB

$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}$$

สามารถเขียนได้ในรูป $$\frac{p+qx+rx^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$

จงหาค่าของ $7p+8q+9r$

ใช้วิธีแยกเศษส่วนย่อย

สมมติ $\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}=\dfrac{A}{a-b}+\dfrac{B}{a-c}+\dfrac{C}{x-a}$ (มอง $a$ ให้เป็นตัวแปร ที่เหลือมองเป็นค่าคงที่)

จึงได้

$a^2=A(a-c)(x-a)+B(a-b)(x-a)+C(a-b)(a-c)$

แทนค่า $a=b,c,x$ จะได้

$A=\dfrac{b^2}{(b-c)(x-b)}$

$B=\dfrac{c^2}{(c-b)(x-c)}$

$C=\dfrac{x^2}{(x-b)(x-c)}$

ดังนั้น

$\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}=\dfrac{b^2}{(a-b)(b-c)(x-b)}+\dfrac{c^2}{(a-c)(c-b)(x-c)}+\dfrac{x^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$

$\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\dfrac{b^2}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\dfrac{c^2}{(c-a)(c-b)(x-c)}=\dfrac{x^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$

[artty60]

สุดยอดเลยครับ

[polsk133]

ตอนสอบคิดได้แค่rตัวอื่นไม่ทัน555+

[TheMintoRB]

อ้ากกก เจ๋งมากเลยค่ะ สุดยอด ขอบคุณที่ช่วยคิดช่วยทำให้นะค่ะ

[ด้วยใจปราถนา]

มีอีกวิธีแต่ไม่แนะนำนะคร้าบบบบ
เมื่อค่าของ a b c เป็นได้หลายค่า
ดังนั้นแทน a=1 b=2 c=3
แล้วก้จะได้ p=0 q=0 r=9 คร้าบบบบ