ข้อสอบ PMWC 2010 (ประเภทบุคคล)

[poper]

9.ในการสอบ ข้อสอบมี 25 ข้อ ตอบถูกจะได้ 4 คะแนน ตอบผิดถูกหัก 1 คะแนน ไม่ตอบไม่ได้คะแนน โจโก้ได้ 68 คะแนน เขาตอบผิดอย่างน้อย 1 ข้อ จงหาว่าเขาตอบผิดกี่ข้อ

ขอเสนอวิธีใช้ระบบสมการครับ
สมมุติให้ตอบถูก x ข้อ ตอบผิด y ข้อ จะได้
$คะแนน=4x-y=68$-------------(1)
ถ้าตอบทุกข้อจะได้ $x+y=25$------------(2)
เมื่อแก้ระบบสมการแล้วจะได้ xและ y ไม่เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าต้องมีข้อที่ไม่ตอบด้วย สมมุติว่ามีข้อที่ไม่ได้ตอบ A ข้อ
จะได้ $x+y=25-A$
แก้ระบบสมการได้ $y=\frac{32-4A}{5}$ นั่นคือ 32-4A ต้องหาร 5 ลงตัว ลองแทนค่า A จะได้ A=3 จะได้ y=4 ดังนั้นตอบผิด 4 ข้อ

[dark veder]

ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nong_jae

คืออันนี้ถ้าใช้ไม้ขีดหมดทุกอันมันจะได้มากกว่าคะ
ก็ด้านกว้าง 6 หน่วย ยาว 38 หน่วย
ได้สี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 1 หน่วย 228 รูป

กว้าง 13 ยาว 18
เหลือไม้ขีด 1 ก้าน
จำนวน unit square = 234

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

กว้าง 13 ยาว 18
เหลือไม้ขีด 1 ก้าน
จำนวน unit square = 234

ข้อนี้น่าสนใจนะ คุณThammaพอจะแสดงได้ไหมครับว่านั่นคือค่าที่มากที่สุด

[Thamma]

เพิ่งไปอ่านฉบับภาษาอังกฤษมาค่ะ

PMWC 2010 Individual, # 13

The rectangle below consists of 6 unit squares formed by using 17 identical sticks.
Each side of a unit square is formed by one stick.
Find the greatest number of unit squares in a rectangle that can be formed by using exactly 500 identical sticks.

ต้องใช้ไม้ขีดทั้ง 500 ก้าน
ตอบ 228 เหมือนคุณ nong_jae

เด็กๆต้องพยายามคิดเองก่อนนะ ถ้าคิดแล้วคิดอีกก็ยังไม่ได้ ค่อยกด

W = width
$\;$L = length

$ \begin{array}{rcl}2WL + W + L & = & 500 \\
4WL + 2W + 2L & = & 1000 \\
( 2W + 1 ) ( 2L + 1 ) & = & 1001 \\
& = & 7\times 143 \;\therefore\; (W,L) = (3,71)\; \;no. of\; unit\; square = 213 \\
& = & 11\times 91 \;\therefore \;(W,L) = (5,45) \;\;no. of\; unit\; square = 225 \\
& = & 13\times 77 \;\therefore \;(W,L) = (6,38) \;\;no. of\; unit\; square = 228 \\ \end{array}$

โจทย์ข้อนี้ จะท้าทายกว่า ถ้าไม่จำเป็นต้องใช้ไม้ขีดทั้ง 500 ก้าน

คุณ Amankris ถามแบบนักวิชาการ
แต่ 234 ได้มาจากการคิดแบบประถม ลองอ่านดูนะ

จำนวน unit square น่าจะมากที่สุด เมื่อเรียงเป็นรูป $ \square $ จตุรัส , ด้าน = n
$2n ( n+1 ) \leq 500 \rightarrow n = 15 $, unused sticks = 20, no. of unit square = 225

ถ้าเรียงเป็นรูป $ \square $ ผืนผ้า ที่มีความกว้างและความยาวใกล้เคียงกัน
$ 2WL + W + L \leq 500 $
$ W = 14 \rightarrow L = 16$, unused sticks = 22, no. of unit square = 224
$ W = 13 \rightarrow L = 18$, unused sticks = $\;\;$1, no. of unit square = 234
$ W = 12 \rightarrow L = 19$, unused sticks = 13, no. of unit square = 228

ถ้าท่านใดมีวิธีคิดอื่นที่แสดงได้ว่าเป็น optimal answer กรุณาแนะนำด้วยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

[Asuna Jung]

ขอบคุณมากๆค่ะ