Po Leung Kuk 2011 ครั้งที่14 ประเภทบุคคล

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ช่วยข้อ PLK number หน่อยครับ

ถามอย่างนี้ ไม่น่าตอบ

copy คำถามมาซะหน่อยก็ดีครับ ถ้าตอบได้ จะช่วยตอบให้

[Metamorphosis]

อันนี้อะครับ

[banker]

$1225 = 1+2+3+ ... + 49$

$1225 = 35^2$

The next PLK number which is greater than 36 is 1225 Ans.

[กิตติ]

ข้อสอบรายทีม......ถ้าแปลผิดยังไงช่วยบอกกันด้วยแล้วกัน
แปลให้น้องๆได้เอาไปฝึกทำกัน

1.ตามแผนภาพที่ให้มา รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(regular hexagon) $PRUVWX$ วางบนเส้นทะแยงมุมหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(regular pentaagon) $PQRST$ คือ $PR$ จงหาขนาดของมุม $\angle SRU$ ในหน่วยองศา

2.มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $1,000$กี่จำนวนที่มีตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนเท่านั้น(exactly four positive divisor)
(ผมไม่ได้แปลdivisorว่าตัวหาร เพราะในwikipediaให้ความหมายของ"divisor"ว่า..a divisor of an integer n, also called a factor of n ตัวอย่าง...7 is a divisor of 42=7 is a factor of 42)

3.ตามรูปแบบการเรียงของจำนวนนับที่แสดงข้างล่างนี้ ในแถว(row)ลำดับที่เท่าไหร่และหลัก(column)ลำดับที่เท่าไหร่ จึงจะมีเลข$2011$ ตัวอย่าง.เลข$23$ อยู่ในแถวที่ $3$ และหลักที่ $5$

4.จำนวน $PLK$ หมายถึงจำนวนเต็มบวกที่เป็นทั้งจำนวนสามเหลี่ยม(Triangular number)และจำนวนสี่เหลี่ยม(square number) ตัวอย่างคือ $36$ เป็นจำนวน $PLK$ เพราะ $36=1+2+..+8$ และ $36=6^2$ จำนวน $PLK$ ถัดจากเลข $36$ คือเลขอะไร
บันทึกข้อความ:-
จำนวนสามเหลี่ยม(Triangular number) คือผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันโดยเริ่มนับจาก $1$ อย่างเช่น $1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4$ เป็นต้น
จำนวนสี่เหลี่ยม(square number)คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกกับตัวมันเอง อย่างเช่น $1=1\times 1,4=2\times2,9=3\times3,16=4\times4$

5.ต้องการตัดพื้นที่รูปแรเงาไปตามแนวตาราง(ตะแกรง)ออกเป็นสองส่วนแล้วนำมาประกอบใหม่ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด$6\times 5$. แสดงคำตอบด้วยการวาดเส้นแบ่งไปตามแนวตาราง

6.ช่องว่างสี่เหลี่ยมในแผนภาพมีทั้งหมด $6$ ช่องแต่ละช่องมีหมายเลขกำกับ $1$ ถึง $6$ .เขียนตัวเลขในช่องว่างโดยเป็นเลขพหุคูณของ $5$ มีค่าตั้งแต่ $5$ ถึง $60$ และเขียนตัวเลขไม่ให้ซ้ำกัน จงเขียนตัวเลขลงฝนช่องว่างโดยที่
6.1.แต่ละช่องต้องไม่มีตัวเลขที่เป็นผลคูณของเลขกำกับช่องกับ $5$
6.2.$15,40$ และ $55$ ต้องเรียงติดกัน(successive=consecutive)
6.3.เลข $5$ เขียนในช่องเลขคี่
6.4.จำนวนที่เขียนในช่องที่ $6$ ต้องมากกว่าจำนวนที่เขียนในช่องที่ $8$
6.5 ผลต่างของจำนวนที่เขียนในช่องที่ $7$ และ $8$ เท่ากับ $5$
6.6 เลข $20$ อยู่ในช่องที่ $2$
6.7 เลขในช่องที่ $5$ ลงท้ายด้วย $0$
6.8 จำนวนในช่องที่ $4$ มีค่าเป็นสองเท่าของช่อง $12$
6.9 เลข $25$ อยู่ในช่องที่มีหมายเลขกำกับมีค่าน้อยกว่าช่องที่มีเลข $35$ อยู่ $2$ ลำดับ

7.มีแผนภาพรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $8 \times 8$ ประกอบด้วยจัตุรัสหนึ่งหน่วย(Unit square) 64 หน่วย ต้องการระบายสีดำ(แรเงา)ลงบนจัตุรัสหนึ่งหน่วยโดยที่
7.1 ทุกแถว(row)ต้องมีจำนวนช่องที่ถูกระบายเท่ากัน และ
7.2 แต่ละหลัก(column)มีจำนวนช่องที่ถูกระบายไม่เท่ากัน

8.สี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ มีจุด $L,M$ และ $N$ อยู่บนด้าน $AB,BC$ และ $CD$ ตามลำดับ โดยที่$AL:LB=BM:MC=CN:ND=2:1$ และผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยม $ADN,DCM$ และ $CLB$ เท่ากับ $2178$ ต.ร.ซ.ม. จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม$BMOL$ ในหน่วย ต.ร.ซ.ม.โดยที่จุด $O$ เป็นจุดตัดของเส้นตรง $AM$ กับ $NL$

9.เมื่อวิเคราะห์จำนวนนับหกหลักที่มีค่าตั้งแต่ $100000$ ถึง $999999$.จะเรียกจำนวนนั้นว่า"จำนวนน่ารัก"เมื่อผลรวมของเลขสามหลักแรกเท่ากับผลรวมของเลขสามหลักหลัง และเีรียกจำนวนนั้นว่า"จำนวนงดงาม"เมื่อผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคู่ อยากทราบว่ามีกี่จำนวนที่เป็นทั้ง"จำนวนน่ารัก"และ"จำนวนงดงาม"

10.แผนที่ของประเทศหนึ่งที่มีรัฐ $6$ รัฐคือ $A,B,C,D,E$ และ $F$ เป็นไปตามภาพที่แสดงข้างล่าง ต้องการระบายสีลงบนแผนที่โดยใช้สีต่างกัน $5$ สี และรัฐที่มีเขตแดนร่วมกัน(คือรัฐที่ติดกัน)ต้องระบายด้วยสีต่างกัน ระบายหนึ่งรัฐต่อหนึ่งสีเท่านั้น จงหาว่าระบายสีลงในแผนที่ได้ทั้งหมดกี่วิธี (ไม่จำเป็นต้องใช้ทุกสีในการระบายสีแต่ละครั้ง)

[banker]

(คุณกิตติแปล)
12.มีกล่องสามใบใส่ลูกแก้วในจำนวนที่แตกต่างกัน
เมื่อหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบแรกเท่ากับ หนึ่งในสามของจำนวนลูกแก้วในกล่อง
จากนั้นหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบที่สองเท่ากับ หนึ่งในสี่ของจำนวนลูกแก้วในกล่อง
และหยิบลูกแก้วออกจากกล่องใบที่สามเท่ากับหนึ่งในห้าของจำนวนลูกแก้วในกล่อง
พบว่าลูกแก้วที่เหลือในกล่องทั้งสามมีจำนวนเท่ากันพอดี
อยากทราบว่าจำนวนลูกแก้วที่น้อยที่สุดหยิบออกจากกล่องสามใบเท่ากับเท่าไหร่



ค.ร.น. ของที่เหลือ $\frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5} = 12 $

นั่นคือ แต่ละกล่อง เหลือน้อยที่สุด 12

นั่นแปลว่า
กล่องแรกมี 18 หยิบออกมา 6

กล่องที่สองมี 16 หยิบออกมา 4

กล่องที่สามมี 15 หยิบออกมา 3

ดังนั้นลูกแก้วที่หยิบออกมาน้อยที่สุดคือ 6+4+3 = 13 ลูก

[banker]

ลากเส้น QS จะแบ่งครึ่ง ได้ QRS มีพื้นที่ 72 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สีเหลือง 36 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สีฟ้าเท่ากับ 4 ตารางเซนติเมตร

เหลือพื้นที่สีเขียว

สามเหลี่ยม CBR คล้ายสามเหลี่ยม PQC
$\frac{\triangle CBR }{\triangle PQC} = \frac{BR}{PQ} = \frac{BC}{CQ} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

พื้นที่สามเหลี่ยม QBR = 48 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สามเหลี่ยม BCR = $ \frac{2}{5} \times 48 = 19.2 $ ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สีเทา = 72 - 36 - 4 - 19.2 = 12.8 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่แรเงา = 2 x 12.8 = 25.6 ตารางเซนติเมตร

[banker]

(คุณกิตติแปล)
11.ผลบวกของเลขหลักหน่วยของ $7777^7$และ $77^{777}$ เท่ากับเท่าไหร่


$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
$7^ 4 = 2401$
$7^5 = ....7$
$7^6 = ......9$

7 ยกกำลัง หลักหน่วยวน เป็น 7-9-3-1

$7777^7 \ $ หลักหน่วยเป็น 3

$77^{777} = (77) \times (77) \times (77) \times ...... \times (77) \ $ รวม 777 ชุด ก็วน 7 - 9 - 3 - 1 เช่นกัน

ดังนั้น $77^{777} $ มีหลักหน่วยเป็น 7

ผลบวก 3 + 7 = 10

ผลบวกของเลขหลักหน่วยของ $7777^7 \ $ และ $ \ 77^{777} \ $ เท่ากับ 0

[banker]

(คุณกิตติแปล)
13.มาเรียกำลังเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันPO LEUNG KUK
ในระหว่างช่วงพัก มาเรียเขียนตัวหนังสือเหล่านี้ลงบนหัวกระดาษมีเส้นดังนี้
PO LEUNG KUK 14TH PMWC
ในบรรทัดต่อมาซึ่งเป็นบรรทัดแรก มาเรียสลับตัวอักษรแรกของคำไปต่อท้ายคำ ดังนี้
OP EUNGL UKK 4TH1 MWCP
จากนั้นมาเรียก็ทำแบบเดียวกันในบรรทัดที่สอง
PO UNGLE KKU TH14 WCPM
มาเรียเขียนแบบนี้ไปเรื่อย
ในบรรทัดที่เท่าไหร่ที่มาเรียกลับมาเขียนเหมือนตัวเริ่มต้น

PO วนกลับมาทุก 2 บรรทัด

LEUNG วนกลับมาทุก 5 บรรทัด

KUK วนกลับมาทุก 3 บรรทัด

14TH วนกลับมาทุก 4 บรรทัด

PMWC วนกลับมาทุก 4 บรรทัด

ค.ร.น. ของ 2, 3, 4, 4, 5 เท่ากับ 60

ตอบ บรรทัดที่ 60

[banker]

(คูณกิตติแปล
3.ตามรูปแบบการเรียงของจำนวนนับที่แสดงข้างล่างนี้ ในแถว(row)ลำดับที่เท่าไหร่และหลัก(column)ลำดับที่เท่าไหร่
จึงจะมีเลข2011
ตัวอย่าง.เลข23 อยู่ในแถวที่ 3 และหลักที่ 5 )



สังเกตว่า เลขวื่งจาก 1 ถึง 25 ก็จะวนกลับมาตั้งต้นใหม่ เป็นตาราง 5 x 5 ชุดใหม่

ดังนั้น 2011 หารด้วย 25 ได้ 80 ตาราง เหลือเศษ 11

ดังนั้น 2011 จะตกอยู่ในชุดที่ 81 ดังภาพ

แถวที่ 2 คอลัมน์ 404

[Mobius]

ข้อ 5 (ทีม)

[Mobius]

ข้อ 7 (ทีม)

มีหลายแบบ แต่ผมเอามา 1 แบบ

[banker]

(คุณกิตติแปล)
1.ตามแผนภาพที่ให้มา รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(regular hexagon) $PRUVWX$
วางบนเส้นทะแยงมุมหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(regular pentaagon) $PQRST$ คือ $PR$
จงหาขนาดของมุม $\angle SRU$ ในหน่วยองศา




มุมภายในหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า แต่ละมุมเท่ากับ 120 องศา

มุมภายในห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า แต่ละมุมเท่ากับ 108 องศา

สามเหลี่ยม QPR เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมRQP = 108องศา ดังนั้นมุมที่ฐาน QRP = 36 องศา

มุมSRP = 108 - 36 = 72 องศา

มุมURS = 120 - 72 = 48 องศา

[banker]

(คุณกิตติแปล)
2.มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 กี่จำนวนที่มีตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนเท่านั้น(exactly four positive divisor)
(ผมไม่ได้แปลdivisorว่าตัวหาร เพราะในwikipediaให้ความหมายของ"divisor"ว่า..a divisor of an integer n,
also called a factor of n ตัวอย่าง...7 is a divisor of 42=7 is a factor of 42)

ตัวประกอบ 4 ตัว จะอยู่ในรูป $a^3 \ $ หรือ $a \times b$

$a^3 \ $ มีสองตัว คือ $2^3$ กับ $3^3 $

$a \times b$ มี 30 จำนวนคือ

2x3
2x5
2x7
2x11
2x13
2x17
2x19
2x23
2x29
2x31
2x37
2x41
2x43
2x47


3x5
3x7
3x11
3x13
3x17
3x19
3x23
3x29
3x31

5x7
5x11
5x13
5x17
5x19


7x11
7x13

รวม 32 จำนวน

[nongtum]

#43
ลืม $2^3$ และตัวที่มี 2 เป็นตัวประกอบทั้งหลายหรือเปล่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#43
ลืม $2^3$ และตัวที่มี 2 เป็นตัวประกอบทั้งหลายหรือเปล่าครับ

ฮ่า ฮ่า ฮ่า แก้แล้วครับ