ปัญหาเซต ช่วยเช็ตวิธีทำหน่อยครับ

[ZEEDwa]

จากหนังสือ หลักคณิตศาสตร์ ม.ปลาย
ผู้เขียน : อาจารย์วิวัฒน์ อัศวาณิชย์
บริษัท : MAC PRESS CO.,LTD.
หน้า 18 ข้อ 26 เรื่องเซต

โจทย์ : ผลการสำรวจการเลือกเรียนรายวิชาของนักเรียนห้องหนึ่งปรากฎผลดังนี้
อย่างน้อย 70% ของนักเรียนห้องนี้เรียนวิชาคณิตศาสตร์
อย่างน้อย 75% ของนักเรียนห้องนี้เรียนวิชาภาษาไทย
อย่างน้อย 80% ของนักเรียนห้องนี้เรียนวิชาเคมี
อย่างน้อย 85% ของนักเรียนห้องนี้เรียนวิชาภาษาอังกฤษ

อยากทราบว่าจะมีนักเรียนอย่างน้อยกี่เปอร์เซ็นต์ที่เลือกเรียนทั้ง 4 วิชา
ก. 5% ข. 10% ค. 15% ง. 20%

วิิธีทำ กำหนดให้ A,B,C และ D แทนเซตของนักเรียนห้องนี้ที่เรียน คณิตศาสตร์,ภาษาไทย,เคมี
และภาษาอังกฤษ ตามลำดับ
สมมุติว่า ให้นักเรียนทั้งหมดมี 100 คน
จะได้ $n(A) \geq 70$
$n(B) \geq 75$
$n(C) \geq 80$
$n(D) \geq 85$
จาก $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
แต่ $n(A \cup B) \leq 100$
$\therefore n(A \cap B) = 70 + 75 - 100 = 45$
จาก $n(A \cap B \cap C) = n[(A \cap B) \cap C] = n(A \cap B) + n(C) - n[(A \cap B) \cup C]$
$\therefore n(A \cap B \cap C) = 45 + 80 - 100 = 25$
จาก $n(A \cap B \cap C \cap D) = n[(A \cap B \cap C) \cap D] = n(A \cap B \cap C) + n(D) - n[(A \cap B \cap C) \cup D]$
$\therefore n(A \cap B \cap C \cap D) = 25 + 85 - 100 = 10$

Ans = ข. 10%

รบกวนช่วยเช็ควิธีทำด้วยครับ

อ้างอิงวิธีทำจาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=211
โดย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <Den>

ให้ R, B, W แทนเซตของนักเรียนที่ชอบสีแดง, สีดำ, สีขาว ตามลำดับ
สมมติว่ามีนักเรียนทั้งหมด 100 คน
จะได้ n(R) >= 75, n(B) >= 70, n(W) >= 65
จาก n(R และ B) = n(R) + n(B) - n(R หรือ B)
แต่ว่า n(R หรือ B) <= 100
(หมายความว่า นักเรียนที่ชอบสีแดงหรือสีดำต้องไม่เกินทั้งหมดคือ 100 คนแน่ๆ)
จะได้ n(R และ B) >= 75 + 70 - 100 = 45
ดังนั้น n(R และ B และ W) = n[(R และ B) และ W]
= n(R และ B) + n(W) - n[(R และ B) หรือ W]
>= 45 + 65 - 100 = 10
แสดงว่า มีนักเรียนที่ชอบทั้งสามสีอย่างน้อย 10%