EMIC 2011 ช่วยกันคิดครับ

[Mobius]

1. For any two numbers a and b, a*b means $a+b-\frac{2011}{2}$.
Calculate: $1*2*3*...*2010*2011$.
ผมคิดว่าตอบ 2011 ครับ

2. Suppose 11 coconuts have the same cost as 14 pineapples, 22 mango have the same cost as 21 pineapples, 10 mango have the same cost as 3 bananas, and 5 oranges have the same cost as 2 bananas. How many coconuts have the same cost as 13 oranges?
ผมคิดว่าตอบ 13 ครับ

3. A girl calculates $\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+...+\frac{2011+2012}{2013}$ and a boy calculates $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{671}$. What is the sum of their answers?
ผมคิดว่าตอบ 1342 ครับ

4. What is the first time between 4:00 and 5:00 that the hour hand and the minute hand are exactly 10° apart?
ผมคิดว่าตอบ 4:20 ครับ

5. Two squirrels, Tim and Kim, are dividing a pile of hazelnuts. Tim starts by taking 5 hazelnuts. Thereafter, they take alternate turns, each time taking 1 more hazelnut than the other in the preceding turn. If the number of hazelnuts to be taken is larger than what remains in the pile, then all remaining hazelnuts are taken. At the end, Tim has taken 101 hazelnuts. What is the exact number of hazelnuts at the beginning?
ผมคิดว่าตอบ 215 ครับ

6. In how many ways can we pay a bill of 500 dollars by a combination of 10 dollar, 20 dollar and 50 dollar notes?
ผมคิดว่าตอบ 146 ครับ

7. The least common multiple of the numbers 16, 50 and A is 1200. How many positive integers A have this property?
ผมคิดว่าตอบ 15ครับ

8. In the figure below, $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}$ and $\frac{MQ}{QN}=\frac{NR}{RP}=\frac{PS}{SM}=\frac{1}{2}$. If the area of $\bigtriangleup ABC$ is $360 cm^2$, what is the area of $\bigtriangleup QRS$, in $cm^2$?

ผมคิดว่าตอบ 40 ครับ

เดี๋ยวมีต่อนะครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ทำไมข้อ 1 ผมถึงได้คำตอบ 0 ครับ

ข้อ 2 ผมก็ได้คำตอบ 13 ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

ทำไมข้อ 1 ผมถึงได้คำตอบ 0 ครับ

คุณกระบี่ทะลวงด่าน อาจจะต้องคิดข้อ 1 ใหม่อีกรอบนึงนะครับ.

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ข้อสอบนี้คุณ mobius เอามาจากไหนหรือครับ

#3 อ๋อลืมบวก 2011 ไปครับขอบคุณครับ

[yellow]

1)

$1*2010 = 2*2009 = ... = 1005*1006 = \frac{2011}{2}$

$\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2} = \frac{2011}{2}$

จะได้

$ \frac{2011}{2}*2011 = 2011$

[yellow]

7)

หรม ของ 16, 50 คือ $2^4 x 5^2$ มีตัวประกอบ 15 ตัว

$1200 = 2^4 x 5^2 x 3$ มีตัวประกอบ 30 ตัว

A ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 30 - 15 = 15 ตัว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

8. In the figure below, $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}$ and $\frac{MQ}{QN}=\frac{NR}{RP}=\frac{PS}{SM}=\frac{1}{2}$. If the area of $\bigtriangleup ABC$ is $360 cm^2$, what is the area of $\bigtriangleup QRS$, in $cm^2$?

ผมคิดว่าตอบ 40 ครับ

$ \triangle PMN = \frac{1}{3} \triangle ABC $

$ \triangle SRQ = \frac{1}{3} \triangle PMN = \frac{1}{9} \triangle ABC = \frac{1}{9} \times 360 = 40 \ $ตารางเซนติเมตร

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

1. For any two numbers a and b, a*b means $a+b-\frac{2011}{2}$.
Calculate: $1*2*3*...*2010*2011$.
ผมคิดว่าตอบ 2011 ครับ

ตัด 2011 ออกไปก่อน เหลือ

$1*2*3*...*2010$

จับคู่ 1*2010, 2*2009 ... ได้ 1005 คู่

1*2010 = $1+2010 -\frac{2011}{2} = 2011 - \frac{2011}{2} = \frac{2011}{2} $

2*2009 = $2+2009 -\frac{2011}{2} = 2011 - \frac{2011}{2} = \frac{2011}{2} $

ก็จะได้ $\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2}*...*2011$

จับคู่เดิม $\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2} = \frac{2011}{2}$

ยุบไปเรื่อยๆ สุดท้ายเหลือ $\frac{2011}{2}*2011$ จะได้

$\frac{2011}{2}+2011 - \frac{2011}{2} =2011$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

2. Suppose 11 coconuts have the same cost as 14 pineapples, 22 mango have the same cost as 21 pineapples, 10 mango have the same cost as 3 bananas, and 5 oranges have the same cost as 2 bananas. How many coconuts have the same cost as 13 oranges?
ผมคิดว่าตอบ 13 ครับ

$11c = 14p, \ \ 22m = 21p, \ \ 10m = 3b, \ \ 5\odot = 2b, $

ใช้วิธีย้อนกลับ
$5\odot = 2b$

$13\odot = \dfrac{2 \times 13}{5}b$

$3b = 10m$

$ \dfrac{2 \times 13}{5}b = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}m$

$22m = 21p$

$ \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}m = \dfrac{21}{22} times \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}p$


$14p = 11c$

$ \dfrac{21}{22} \times \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}p = \dfrac{11}{14} \times \dfrac{21}{22} \times \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}c = 13c$

13 coconuts have the same cost as 13 oranges Ans.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

4. What is the first time between 4:00 and 5:00 that the hour hand and the minute hand are exactly 10° apart?
ผมคิดว่าตอบ 4:20 ครับ

ระหว่างเวลา 4:00 และ 5:00 น. เวลาใดที่เข็มสั้นและเข็มยาวทำมุมกัน 10 องศา



ให้เวลาผ่านไป x นาที เข็มสั้นเข็มยาวทำมุม 10 องศา

120 + 0.5x = 6x +10

x = 20

4:20 Ans.

[Mobius]

ต่อครับ

9. In a 2×3 table, there are 10 rectangles which consist of an even number of unit squares.



How many rectangles are there in a 6×9 table which consist of an even number of unit squares?


ผมคิดว่าตอบ 645 ครับ

10. Find the smallest positive common multiple of 4 and 6 such that each digit is either 4 or 6, there is at least one 4 and there is at least one 6.
ผมคิดว่าตอบ 4644 ครับ

11. We have two kinds of isosceles triangles each with two sides of length 1. The acute triangle has a 30^{\circ} angle between the two equal sides, and the right triangle has a right angle between the two equal sides. We place a sequence of isosceles triangles around a point according to the following rules. The n-th isosceles triangle is a right isosceles triangle if n is a multiple of 3, and an acute isosceles triangle if it is not. Moreover, the n-th and (n+1)-st isosceles triangles share a common side, as shown in the diagram below. What is the smallest value of n>1 such that the n-th isosceles triangle coincides with the 1-st one?

ผมคิดว่าตอบ 23 ครับ

12. When the digits of a two-digit number are reversed, the new number is at least 3 times as large as the original number. How many such two-digit numbers are there?
ผมคิดว่าตอบ 6 ครับ

13. In the quadrilateral ABCD, AB=CD, $\angle BCD=57^{\circ}$, and $\angle ADB + \angle CBD = 180^{\circ}$. Find the value of $\angle BAD$.

ข้อนี้ผมคิดไม่ออกครับ

14. Squares on an infinite chessboard are being painted. As shown in the diagram below, three squares (lightly shaded) are initially painted. In the first step, we paint all squares (darkly shaded) which share at least one edge with squares already painted. The same rule applies in all subsequent steps. Find the number of painted squares after one hundred steps.

ผมคิดว่าตอบ 403 ครับ

15. The rows of a 2011×4024 chessboard are numbered from 1 to 2011 from bottom to top, and the columns from 1 to 4024 from left to right. A snail starts crawling from the cell on row 1 and column 1 along row 1. Whenever it is about to crawl off the chessboard or onto a cell which it has already visited, it will make a left turn and then crawl forwards in a straight line. Thus it follows a spiraling path until it has visited every cell. Find the sum of the row number and the column number of the cell where the path ends. (The answer is 3+2=5 for a 4×5 table.)

ผมคิดว่าตอบ 2013 ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

10. Find the smallest positive common multiple of 4 and 6 such that each digit is either 4 or 6, there is at least one 4 and there is at least one 6.
ผมคิดว่าตอบ 4644 ครับ

4464 น้อยกว่านะครับ.

[Mobius]

ลืมนึกไป

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

ต่อครับ

9. In a 2×3 table, there are 10 rectangles which consist of an even number of unit squares.


How many rectangles are there in a 6×9 table which consist of an even number of unit squares?


ผมคิดว่าตอบ 645 ครับ

ตอบ 945 ครับ

[Mobius]

คิดอย่างไรครับ ผมคิดได้ 645 ครับ