ลำดับ อนุกรม 2 ข้อครับ

[MirRor]

1. กำหนดให้ $\theta \in [0,2\pi ] และ sin\theta , sin2\theta , sin3\theta เป็นลำดับเลขคณิต ข้อใดคือผลรวมของค่า \theta ทั้งหมด$
$1) 3\pi$
$2) 5\pi$
$3) 7\pi$
$4) 9\pi$

2. จงหาค่า k ที่ทำให้รากของสมการ $x^{3} + 3 x^{2} - 6x + k =0$ เป็นลำดับเลขคณิต
1)-10
2)-8
3)-6
4)2

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MirRor

1. กำหนดให้ $\theta \in [0,2\pi ] $ และ $sin\theta , sin2\theta , sin3\theta $ เป็นลำดับเลขคณิต ข้อใดคือผลรวมของค่า $ \theta $ ทั้งหมด
$1) 3\pi$
$2) 5\pi$
$3) 7\pi$
$4) 9\pi$

$sin3\theta-sin2\theta =sin2\theta-sin\theta$
$2sin2\theta=sin3\theta+sin\theta $
$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2} $
$sin3\theta+sin\theta = 2sin2\theta cos\theta$
$2sin2\theta=2sin2\theta cos\theta$
$2sin2\theta(1-cos\theta)=0$
ดังนั้น $sin2\theta=0$ หรือ $cos\theta =1$
$2\theta=\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2} \rightarrow \theta= \frac{\pi }{4}, \frac{3\pi }{4}$
$cos\theta =1 \rightarrow \theta =0,2\pi $
ผลรวมของค่า$\theta$ เท่ากับ $3\pi$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MirRor

2. จงหาค่า k ที่ทำให้รากของสมการ $x^{3} + 3 x^{2} - 6x + k =0$ เป็นลำดับเลขคณิต
1)-10
2)-8
3)-6
4)2

$x^{3} + 3 x^{2} - 6x + k =0$
สมการกำลังสามมีราก 3 ราก ให้เป็น$k_1,k_2,k_3$ เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ว่า$k_1+k_2+k_3 = -3$
$k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3 = -6$
$k_1k_2k_3 = -k$

$k_1+k_2+k_3 = 3k_1+3d$
$k_1+d= -1=k_2$
$k_1+k_3= -2$........(1)

$k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3 =k_2(k_1+k_3)+k_1k_3$
$-6=2+k_1k_3$
$k_1k_3 = -8$........(2).....จริงๆทำแค่นี้ก็ได้คำตอบแล้วเพราะว่า $k_1k_2k_3 = -k$
ดังนั้น $k=-8$

จาก(1) $k_3= -2-k_1$ .....นำไปแทนใน(2)
$k_1(-2-k_1) = -8$
$k_1(2+k_1) = 8$
$k_1^2+2k_1-8=0$
$(k_1+4)(k_1-2)=0$
$k_1=2,-4$
จะได้ค่า$k_2=-4,2$ ตามลำดับ
ผมแก้สมการให้ดูเฉยๆ....เขียนเสร็จแล้วกลับขึ้นไปดูแล้วก็นึกได้ว่าตรงสมการสองก็ได้คำตอบแล้ว
สิ่งสำคัญในการแก้โจทย์ข้อนี้คือการรู้ว่ารากของสมการกับสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ในสมการพหุนามสัมพันธ์กันยังไง
ที่ผมนำมาให้ดูนั้น น้องลองกระจายจาก
$(x-k_1)(x-k_2)(x-k_3)=0$
แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ดู.....เขาเรียกว่า$Vieta's \quad Formulae$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$sin3\theta-sin2\theta =sin2\theta-sin\theta$
$2sin2\theta=sin3\theta+sin\theta $
$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2} $
$sin3\theta+sin\theta = 2sin2\theta cos\theta$
$2sin2\theta=2sin2\theta cos\theta$
$2sin2\theta(1-cos\theta)=0$
ดังนั้น $sin2\theta=0$ หรือ $cos\theta =1$
$2\theta=\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2} \rightarrow \theta= \frac{\pi }{4}, \frac{3\pi }{4}$
$cos\theta =1 \rightarrow \theta =0,2\pi $
ผลรวมของค่า$\theta$ เท่ากับ $3\pi$

$sin2\theta = 0 \rightarrow 2\theta = 0, \pi, 2\pi , 3\pi ,4\pi $ $(2\theta \in [0,4\pi ])\rightarrow \theta = 0 ,\dfrac{\pi }{2}, \pi, \dfrac{3\pi }{2}, 2\pi $

$cos\theta =1 \rightarrow \theta =0,2\pi $
ดังนั้น ผลรวมของค่า $\theta$ ทั้งหมดเท่ากับ $7\pi$

(พี่กิตติ คงเผลอไปครับ)

[กิตติ]

จริงด้วยครับ....ขอบคุณครับที่ช่วยกันดู
ผมก็ยังงี้ประจำครับ...ทำไปจนลืมมาทวนความถูกต้องครับ

[MirRor]

อ่อ ขอบคุณครับ แฮะๆ