Nice!(apply with polynomial)

[tatari/nightmare]

ให้ $a,b,c,d,e$ เป็นจำนวนนับ เราสมมติว่า $S=a+b+c+d+e+f$ หาร $abc+def$ และ $ab+bc+ca-de-ef-fd$ ลงตัว จงหาค่าของ $a,b,c,d,e$ ทั้งหมดที่ทำให้ $S$ เป็นจำนวนเฉพาะ

[น้องโดม]

โจทย์น่าทำจังเลยนะครับ ผมจะลองพยายามทำดูนะครับ

[square1zoa]

ยากไปป่าว 555+ แต่ก้อหนุก

[tatari/nightmare]

Hint

ให้ $P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)$

[Ai-Ko]

สวัสดีเจ้าค่ะ... สำหรับข้อนี้ เพิ่งจะรู้นะเจ้าคะว่ามีวิธีที่ใช้พหุนามทำด้วย ส่วนตัวแล้วรู้วิธีทำวิธีเดียว โดยได้มาจากเพื่อนคนนึง ทำดังนี้เจ้าค่ะ

ก่อนอื่นก็ให้ $S=a+b+c+d+e+f$ เจ้าค่ะ (ย้ำอีกทีกันลืม)
ต่อไป เมื่อใช้ดินสอกดลากไปกระดาษทดอยู่ซักพัก (ตามคำให้สัมภาษณ์ของผู้ที่เฉลยให้) เริ่มต้นจาก $S|abc+def$ และ $S|ab+bc+ca-de-ef-fd$ เราจะพิสูจน์ได้ว่า
$$S|(a+1)(b+1)(c+1)+(d-1)(e-1)(f-1)$$
และ
$$S|(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)-(d-1)(e-1)-(e-1)(f-1)-(f-1)(d-1)$$

สำหรับวิธีพิสูจน์ก็กระจายฝั่งที่เป็นตัวตั้งออกมา
$(a+1)(b+1)(c+1)+(d-1)(e-1)(f-1)$
$=(abc+def)+(ab+bc+ca-de-ef-fd)+(a+b+c+d+e+f)$
$(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)-(d-1)(e-1)-(e-1)(f-1)-(f-1)(d-1)$
$=(ab+bc+ca-de-ef-fd)+2(a+b+c+d+e+f)$
ซึ่งทุกพจน์เป็นพหุคูณของ $S$

จากนั้น สังเกตว่า
$$S'=(a+1)+(b+1)+(c+1)+(d-1)+(e-1)+(f-1)=a+b+c+d+e+f=S$$
ดังนั้นถ้า $(a,b,c,d,e,f)$ มีสมบัติอย่างที่โจทย์กำหนดมาแล้ว $(a+1,b+1,c+1,d-1,e-1,f-1)$ ก็จะมีสมบัติดังกล่าวด้วย และในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า $(a-1,b-1,c-1,d+1,e+1,f+1)$ ก็มีสมบัติดังกล่าวเช่นกัน

คราวนี้เราก็ดูว่าใน $a,b,c,d,e,f$ นี่ตัวไหนที่น้อยที่สุด ถ้าเป็น $a,b$ หรือ $c$ เราก็แปลง
$$(a,b,c,d,e,f) \rightarrow (a-1,b-1,c-1,d+1,e+1,f+1)$$
ซ้ำๆ จนกว่าตัวที่น้อยที่สุดจะกลายเป็น 0 ซึ่งจะได้ว่า 6-tuple ในตอนนี้กลายเป็น $(0,b-a,c-a,d+a,e+a,f+a)$ โดยที่ทุกองค์ประกอบไม่เป็นลบ (กรณีที่ตัวที่น้อยที่สุดคือ $b$ หรือ $c$ ก็ทำต่อได้ในทำนองเดียวกัน)
เนื่องจากเราได้พิสุจน์แล้วว่า 6-tuple นี้เองก็ยังคงมีสมบัติอย่างที่โจทย์กำหนด ดังนั้น $S|abc+def \rightarrow S|(d+a)(e+a)(f+a)$ ($S$ ยังคงมีค่าเท่ากับ $a+b+c+d+e+f$)
ถ้า S เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า $S|d+a, S|e+a$ หรือ $S|f+a$ พิจารณากรณีที่ $S|d+a$ (กรณีอื่นๆ สามารถให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน) จะได้ว่า
$$d+a \geqslant S = a+b+c+d+e+f > a+d$$
(เพราะว่า $a,b,c,d,e,f\in \mathbb{N}$) จึงเกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นจึงไม่มี $S$ ที่เป็นจำนวนเฉพาะ

ในกรณีที่ตัวน้อยสุดเป็น $d,e$ หรือ $f$ เราก็ใช้การแปลง $(a,b,c,d,e,f) \rightarrow (a+1,b+1,c+1,d-1,e-1,f-1)$ แล้วก็สามารถให้เหตุผลในทำนองเดียวกันเช่นกัน

สรุปแล้วจึงได้ว่าหากว่า $a,b,c,d,e,f$ สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวแล้ว $S$ ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เลย... เจ้าค่ะ

[Tomoyo_jung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

Hint

ให้ $P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)$

อืม เปนทริกที่ดีและน่าสนใจมากเลยคะ
ถ้าเราให้ $P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)$ ตามที่ hint ไว้
สังเกตว่า $P(x)=(a+b+c+d+e+f)x^2+(ab+bc+ca-de-ef-fa)x+(abc+def)$
จากสมมติฐานของเราจึงได้ว่า $a+b+c+d+e+f\mid P(x)$ ทุก $x$ ที่เปนจำนวนเต็ม
สมมติว่ามี $a,b,c,d,e,f$ ที่ทำให้ $a+b+c+d+e+f$ เป็นจำนวนเฉพาะ
เนื่องจาก $a+b+c+d+e+f\mid P(f)$ แต่ $P(f)=(f+a)(f+b)(f+c)$
จึงได้ $a+b+c+d+e+f\mid (f+a)(f+b)(f+c)$
แต่เนื่องจาก $a+b+c+d+e+f$ เปนจำนวนเฉพาะ ทำให้เราได้ว่า $a+b+c+d+e+f$ จะหาร $f+a,f+b,f+c$
ตังใดตัวหนึ่งลงตัว
แต่สังเกตว่า $a+b+c+d+e+f>f+a,f+b,f+c$ จึงเป็นไปไม่ได้ที่ $a+b+c+d+e+f$ จะหารมันลงตัว
$\therefore a+b+c+d+e+f$ จึงไม่มีโอกาสที่จะได้เปนจำนวนเฉพาะ
จึงจบการพิสูจน์คะ