รบกวนช่วยเฉลย Abstract Algebra 2ข้อ (คนเดิม)

[khlongez]

ทำไม่ได้อีกแล้ว

รบกวนช่วยหน่อยนะคะ

1.กำหนด $D$ เป็นกึ่งกรุปจำกัด และสำหรับทุก $a,x,y \in D $ จะมีคุณสมบัติ2ข้อดังนี้
- ถ้า $ax = ay$ แล้ว $x = y$ (สมบัติตัดออกทางซ้าย)
- ถ้า $xa = ya$ แล้ว $x = y$ (สมบัติตัดออกทางขวา)
จงพิสูจน์ว่า $D$ เป็นกรุป

2.กำหนด $F$ เป็นฟีลด์
$H$ และ $K$ เป็นฟีลด์ย่อยของ $F$
จงแสดงว่า $H\cup K$ ไม่จำเป็นต้องเป็นฟีลด์ย่อยของ $F$ โดยการยกตัวอย่าง

[ครูนะ]

เฉลยเฉพาะข้อ 1

D เป็นกึ่งกรุป ดังนั้น D มีสมบัติปิดและเปลี่ยนกลุ่ม

เหลือพิสูจน์สมบัติการมีเอกลักษณ์และตัวผกผัน

พิสูจน์การมีเอกลักษณ์ก่อน

เนื่องจาก D เป็นกรุปจำกัด ดังนั้นที่ทุก $a \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $ab = a$

(เกิดได้เพราะ ถ้ากำหนด ฟังก์ชันเรียงสับเปลี่ยน $f : S \rightarrow S$

สมมุติมีสมาชิก n สมาชิก เนื่องจาก D เป็นกรุปจำกัด ดังนั้น จะเกิด ฟังก์ชันได้ n! แบบ

และใน n! แบบจะมีบางแบบที่เป็นสมาชิกซ้ำกันได้

ดังนั้นที่ทุก $a \in D$ สามารถเลือก $b \in D$ ที่ $ab = a$ ได้)

จากสมบัติตัดออกทางซ้าย จะได้ $b = e$

ในทำนองเดียวกันที่ทุก $a \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $ba = a$

จากสมบัติตัดออกทางขวา จะได้ว่า $b = e$

จึงได้ว่า จะมี $e \in D$ ที่ทุก $a \in D$ ที่ $ae = e = ea$

เพราะฉะนั้น เซต D มี $e$ เป็นเอกลักษณ์

พิสูจน์ว่า D มีตัวผกผัน

เนื่องจาก D เป็นเซตจำกัด ให้ $e$ เป็นเอกลักษณ์ และ $e \in D$

ให้ D = {$e, x_{1}, x_{2},..., x_{n}$}

จะมี $b \in D$ ที่ทำให้ D = {$be, bx_{1}, bx_{2},..., bx_{n}$}

ดังนั้น ที่ทุก $x_{i} \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $bx_{i} = e$ ที่ทุก $i = 1, 2,..., n$

ในทำนองเดียวกัน จะพิสูจน์ได้ว่า ที่ทุก $x_{i} \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $x_{i}b = e$

เพราะฉะนั้น ที่ทุก $a \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $ab = e = ba$

[nooonuii]

2. ลองพิจารณาพวก extension field ของ $\mathbb{Q}$ ครับ

เช่น $X=\mathbb{Q}(\sqrt{2})\cup \mathbb{Q}(\sqrt{3})$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ เป็น field

$\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{3}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ ก็เป็น field

$\sqrt{2},\sqrt{3}\in X$ แต่ $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ล่ะ