พิสูจน์สั้นๆ #ช่วยหน่อยครับ

[tonklaZolo]

จงพิสูจน์อย่างสั้นสั้นว่า
$$\frac{15}{101}>\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7}\times \frac{8}{9}\times ...\times \frac{100}{101}>\frac{10}{101}$$

[banker]

ของผมยาวไปหน่อย รอดูแบบสั้นๆ ก็ไม่มีใครเอามาให้ดู


งั้นเอาแบบยาวๆหน่อยก็แล้วกันนะครับ

ให้ $ \ A = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{9} \times ... \times \frac{100}{101} $

และ $ \ B = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times ... \times \frac{99}{100} $

$ \because \ \ \frac{2}{3}> \frac{1}{2}, \ \frac{4}{5} > \frac{3}{4}, \ \frac{6}{7} > \frac{5}{6}, \ \frac{8}{9}> \frac{7}{8}, ... \frac{99}{100}> \frac{99}{100}$

Fact $ \ \ n^2 > n^2 -1 \ \to \ n^2 > (n+1)(n-1) \ \to \ n > \frac{(n+1)(n-1) }{n} \ \to \ \frac{n}{n+1} > \frac{n-1}{n}$

ดังนั้น $ \ A > B \ \to \ A^2 > BA $

แต่ $BA = (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times ... \times \frac{99}{100})( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{9} \times ... \times \frac{100}{101} ) = \frac{1}{101}$

$ \ \therefore \ A^2 > \frac{1}{101} \ \to \ A > \frac{\sqrt{101} }{101}$

แต่ $ \ \frac{\sqrt{101} }{101} > \frac{\sqrt{100} }{101} $

ดังนั้น $ \ A > \frac{10}{101}
\ \to \ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{9} \times ... \times \frac{100}{101} > \frac{10}{101} $

จบท่อนหลัง เดี่๋ยวค่อยหาทางพิสูจน์ท่อนแรกต่อ



มาต่อท่อนแรกครับ

ให้ $ \ C = \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times ... \times \frac{99}{100}\times \frac{101}{102} $

$ A = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{9} \times ... \times \frac{100}{101} $

ทำนองเดียวกัน จะได้ $ \ A < C $

$ \ A^2 < AC $

$AC = (\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{9} \times ... \times \frac{100}{101} )( \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times ... \times \frac{99}{100} \times \frac{101}{102})= \frac{(2\cdot3\cdot ... \cdot 101) }{(3\cdot4\cdot5 \cdot ... \cdot102)}$

$A^2 < \frac{2}{102} = \frac{1}{51}$

$ \because \ (\frac{15}{101})^2 = \frac{225}{10201} = \frac{1}{45.337}$

$ \frac{1}{51} < \frac{1}{45.337}$

ดังนั้น $A^2 < (\frac{15}{101})^2 $

$A < \frac{15}{101}$

จึงสรุปว่า $ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{9} \times ... \times \frac{100}{101} < \frac{15}{101}$