สอวน. รอบพิเศษ ศูนย์ขอนแก่น สอบวันที่ 25 ม.ค. 52 (scan)

[faa]

จากข้อ 1 ไม่มี 2(1!) และ ไม่มี 4(3!) มีแต่ 3(1!) และ 5(3!) เอามาจากไหนช่วยบอกด้วยครับ

[Chronon]

ถ้าคัด 25 คนทั่วประเทศจริงๆ รุ่นน้องผมคงเซ็งแหละนะ เห็นบอกว่าทำได้ 9-10 ข้อ เหอะๆ
แต่ถ้าติดจริงๆ ก็คงตามไปกวนประสาทที่ค่ายด้วย
ก็เหมือนเดิมนะคับ LaTex ยังไม่คล่อง แหะๆ ยังไงก็ขออภัยล่วงหน้าละกัน

ข้อ2.

ให้ $A = \sqrt[3]{x+7}$ และ $B = \sqrt[3]{x-7}$ จะได้ว่า $A - B = 2$ และ $A^3 - B^3 = 14$
แก้สมการจะได้ $A = 1 \pm \sqrt{2} $ นั่นคือจะได้ $x = \pm 5\sqrt{2} $

ข้อ3.

$$4(\sin x + \cos x) = 8 - 5\sin x \cos x$$
ยกกำลังสองจะได้ $$16(1+2\sin x \cos x) = (8 - 5 \sin x \cos x)^2$$
แก้สมการจะได้ว่า $\sin x \cos x = \frac{12}{25}$ ใช้เอกลักษณ์อีกนิดก็จะได้ $\sin x = \frac{3}{5},\frac{4}{5}$

ข้อ4.

พิจารณา $f(x)=\frac{Ax+B}{Bx+A}$ เมื่อแก้สมการของ $f(x)=x$ จะได้คำตอบคือ $x=\pm 1$ (สังเกตว่าคำตอบไม่ขึ้นกับค่า $A,B$)
ต่อไป เนื่องจาก $$f(f(x))=\frac{(A^2 + B^2)x + 2AB}{(2AB)x+A^2+B^2}$$
ซึ่งมีรูปแบบเดียวกันกับ $f(x)$ จึงได้ว่าคำตอบของ $f(x)=x$ ก็คือ $x=\pm 1$ เช่นกัน
ดังนั้นถึงแม้จะทำการ composite $f(x)$ ไปเท่าใด ค่าของคำตอบก็จะยังคงเท่าเดิม ไม่ขึ้นกับค่า $A,B$
นั่นคือ $x=\pm 1$

ข้อ6.

โจทย์สมมูลกับ จำนวนวิธีในการเลือกเลข 6 ตัว ออกมาจากลำดับเลข 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ดังนั้นคำตอบคือ $\binom{9}{6} = 84$ วิธี

ข้อ7.

ก่อนอื่นนำนักเรียนชายทั้ง 5 คนนั่งรอบโต๊ะกลม จะแบ่งออกเป็น 2 กรณี คือเมื่อสมชายนั่งติดกับสมปอง และสมชายนั่งไม่ติดกับสมปอง
กรณีที่ 1. สมชายนั่งติดกับสมปอง จะจัดนักเรียนชายนั่งโต๊ะได้ $2!3!=12$ วิธี
สมหญิงจะมีวิธีเลือกที่นั่งระหว่างนักเรียนชายได้ 2 วิธี เพราะมีที่นั่ง 3 ที่ๆติดกับสมชายหรือสมปอง
หลังจากนั้นให้นักเรียนหญิงที่เหลือนั่งระหว่างนักเรียนชายใดๆ ก็ได้ตำแหน่งละ 1 คน จะนั่งได้ $4\times 3=12$ วิธี ดังนั้นวิธีนั่งในกรณีที่ 1. คือ $12\times 2\times 12 = 288$ วิธี
กรณีที่ 2. สมชายนั่งไม่ติดกับสมปอง จะจัดนักเรียนชายได้ $(5-1)!-12=12$ วิธี
สมหญิงจะเหลือที่นั่งระหว่างนักเรียนชาย 1 ที่ เพราะมีที่นั่ง 4 ที่ๆติดกับสมชายหรือสมปอง
หลังจากนั้นให้นักเรียนหญิงที่เหลือนั่งระหว่างนักเรียนชายใดๆ ก็ได้ตำแหน่งละ 1 คน จะนั่งได้ $4\times 3=12$ วิธี ดังนั้นวิธีนั่งในกรณีที่ 1. คือ $12\times 1\times 12 = 144$ วิธี
ดังนั้นจากกรณีที่ 1 และ 2 จะได้จำนวนวิธีนั่งทั้งหมดคือ $288+144=432$ วิธี

ข้อ8. จาก $$\binom{10}{1}+2\binom{10}{2}+3\binom{10}{3}+...+10\binom{10}{10} = 2^{10} A$$
ใช้ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ จะได้
$$10\binom{10}{0}+9\binom{10}{1}+8\binom{10}{2}+...+\binom{10}{9} = 2^{10} A$$
จับ 2 บรรทัดนี้บวกกัน จะได้
$$10\left(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+...+\binom{10}{10}\right) = 2^{11} A$$
จากเอกลักษณ์ในทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่าในวงเล็บใหญ่เท่ากับ $2^{10}$ ดังนั้น $A=5$ (โจทย์บอกให้หาหลักหน่วย ตอนแรกก็นึกว่าจะเป็นเลขตัวใหญ่ๆ ที่ไหนได้ )

ข้อ 9. เอ่อ ผมนับได้ 63 รูปอะคับ แหะๆ (เด็กดีไม่ควรลอกเลียนแบบ )

ข้อ 10. เนื่องจากวิธีการจับได้ลูกบอลสีเงินมากกว่าสีทอง มี 50 วิธี ซึ่งเท่ากับวิธีการจับได้ลูกบอลสีทองมากกว่าสีเงิน
ดังนั้นโจทย์จึงกลายเป็น "ความน่าจะเป็นที่จะนำลูกบอล 100 ลูก ใส่ในกล่อง 2 กล่อง อย่างไรก็ได้ แล้วทำให้จำนวนลูกบอลในกล่องทั้ง 2 มีกล่องละ 50 ลูก"
ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ$\displaystyle{\frac{\binom{100}{50} }{2^{100}}}$

ข้อ 17. เลือก 3 จำนวน ได้ 900,900,1 จึงได้ผลบวกมากที่สุดคือ 1801

ข้อ 18. จากโจทย์จะได้ว่า มีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ $n^2 + 2009 = k^2$ หรือก็คือ $(k-n)(k+n)=2009$ เนื่องจาก 2009 แยกตัวประกอบได้เป็น(1,2009) (7,287) (41,49) (49,41) (287,7) (2009,1)
เลือกจับคู่วงเล็บกับตัวประกอบแล้วแก้สมการ จะได้ค่า n ที่ใช้ได้คือ 1004, 140, 4

ข้อ 20. สังเกตว่า หากเราต้องการค่า n มากๆ เราต้องทำให้ค่าของ $q_{1},q_{2},...,q_{n}$ มีค่าน้อยๆ
และพยายามทำให้ค่า $r_{n-1}$ ในตอนเริ่มต้นมีค่าน้อยๆ ด้วย ดังนั้นจึงให้ $q_{n} = 2$ และ $r_{n-1}=1$
(ถ้าให้ $q_{n}=1$ จะทำให้บรรทัดก่อนหน้าสามารถเขียนในรูป $r_{n-3}=r_{n-2}(q_{n-1}+1)$})
แล้วทำการคำนวณย้อนกลับจากล่างขึ้นบน โดยให้ $q_{1},q_{2},...,q_{n} = 1$ จะได้
$2=1(2)$
$3=2(1)+1$
$5=3(1)+2$
$8=5(1)+3$
$13=8(1)+5$
$21=13(1)+8$
$34=21(1)+13$
$55=34(1)+21$
$89=55(1)+34$ (โฮ่ นี่มัน Fibonacci )
จึงได้ว่า n มากที่สุดที่เป็นไปได้ คือ 9


เสียดายที่หอของผมไม่มี scanner ไม่งั้นก็คงได้เรขาคณิตอีก 2-3 ข้อคับ
ผิดพลาดยังไงก็ขออภัยด้วยนะคับ

[[SIL]]

เป็นที่แน่นอนแล้วครับว่าทั้งประเทศรับ 30 คน (ผมโทรไปถาม)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

เป็นที่แน่นอนแล้วครับว่าทั้งประเทศรับ 30 คน (ผมโทรไปถาม)

ถามใครหรือครับ

[ขอบฟ้า]

คือผมมีคำถามนิดนึงน่ะครับ ถ้ารับ 30 คนทั่วประเทศจริง แล้ว ทำไมข้อสอบเป็นแบบ เขียนตอบ 20ข้อ ซึ้งเวลาตรวจก็มี ถูกกับผิด ไม่มี 2.5 คะแนนเหมือนวิธีทำแล้วเด็กสอบเป็นพันผมว่าคงมีคนได้คะแนนเท่ากันเป็นร้อยๆคนน่ะครับ แล้วจะตัดยังไงล่ะทีนี้

[ขอบฟ้า]

ข้อ 17 เลขคือ 900 900 1 รวมแล้วก็1801ไม่ใช่หลอ(เอามาจากเพือน)

หรม คูณ ครน ได้900 ถ้า 900 *900*1 มันก็เกิน 900แล้วสิ เข้าใจปะเนี้ย

ขอคนหน้าตาดี + มีความสามารถเฉลย ให้หน่อยเอาทุกข้อเลยน่ะ

[meedech]

ก็ 900 900 1 ห.ร.ม.คือ1 ค.ร.ณ.คือ900ไง

หร.ม.คูณ ค.ร.ณก็900อ่ะ

[ขอบฟ้า]

คือ ตอบช้าหน่อยพอดีเน็ตบ้านเรามันไม่ถูกกับเวปนี้ไม่รุเป็นไร เข้าเวปนี้ม่ะค่อยได้ คือ หรม คูณ ครน มีค่าเท่ากับ เอาจำนวนทุกจำนวนมาคุณกันอย่างเช่น a b มีหรม คือ 2 มีครน คือ 6 หมายความว่า a*b=6 อันนี้ก็เหมือนกัน 3ตัว a b c หรม คูณ ครน มีค่าเท่ากับ a*b*c แล้วถ้า a=900 b=900 c=1 มันเกินปะล่ะ 900*900*1 แตถ้า เป็น 900 1 1 ก็ 900*1*1=900 ok ม่ะถ้ายังงง ก็เปิดดูทฤษฏีจำนวนของม.4เทอม1ก็ได้ มีเหมือนกัน

ผิดๆ a*b=12

ขุดขุดกระทู้นี้ อยากได้เฉลยค๊าบ ไม่อยากจะบอกผมอยู่โรงเรียน หาดใหญ่วิทยาลัย โรงเรียนอันดับ 4 ประเทศไทย แต่กลับไม่มี อ.เฉลยข้อสอบนี้ให้ได้

[Anonymous314]

ผมคิดว่ายากนะที่คะแนนจะเท่ากันหลาย ๆ คน เพราะส่วนใหญ่จะทำกันไม่ค่อยได้กัน แต่จะมีคนบางกลุ่มที่ทำได้กันครับ (ซึ่งไม่มากนัก)
(ถ้าข้อสอบง่ายว่าไปอย่าง คะแนนจะเท่ากันเยอะ)

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ถามใครหรือครับ

คือเมื่อวานตอนเย็นผมโทรไปถามทาง ม.อุบลอ่ะครับ

[Heir of Ramanujan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ขอบฟ้า

คือ ตอบช้าหน่อยพอดีเน็ตบ้านเรามันไม่ถูกกับเวปนี้ไม่รุเป็นไร เข้าเวปนี้ม่ะค่อยได้ คือ หรม คูณ ครน มีค่าเท่ากับ เอาจำนวนทุกจำนวนมาคุณกันอย่างเช่น a b มีหรม คือ 2 มีครน คือ 6 หมายความว่า a*b=6 อันนี้ก็เหมือนกัน 3ตัว a b c หรม คูณ ครน มีค่าเท่ากับ a*b*c แล้วถ้า a=900 b=900 c=1 มันเกินปะล่ะ 900*900*1 แตถ้า เป็น 900 1 1 ก็ 900*1*1=900 ok ม่ะถ้ายังงง ก็เปิดดูทฤษฏีจำนวนของม.4เทอม1ก็ได้ มีเหมือนกัน

ผิดๆ a*b=12

ขุดขุดกระทู้นี้ อยากได้เฉลยค๊าบ ไม่อยากจะบอกผมอยู่โรงเรียน หาดใหญ่วิทยาลัย โรงเรียนอันดับ 4 ประเทศไทย แต่กลับไม่มี อ.เฉลยข้อสอบนี้ให้ได้

ห.ร.ม. $\times$ ค.ร.น. $=$ ผลคูณ ใช้ได้เฉพาะ $2$ จำนวนเท่านั้น
หมายถึงว่า $a\times b = (a,b)\times [a,b]$
เมื่อ $(a,b)$ คือ ห.ร.ม. ของ $a,b$ และ $[a,b]$ คือ ค.ร.น. ของ $a,b$

ถ้าเป็น $3$ จำนวน จะใช้ไม่ได้
ตัวอย่างเช่น $15,21,24$ จะได้ ห.ร.ม. คือ $3$ และ ค.ร.น. คือ $840$
ห.ร.ม. $\times$ ค.ร.น. $= 2520$ แต่ $15\times 21\times 24 = 7560$

[meedech]

ช่วยเฉลยเราขาหน่อยเราไม่แน่ใจมากๆเลย

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meedech

ช่วยเฉลยเราขาหน่อยเราไม่แน่ใจมากๆเลย

ข้อไหนเหรอครับ

[meedech]

ทุกข้อเลยคับใครคิดข้อไหนได้ก็ช่วยเฉลยหน่อย

[ขอบฟ้า]

หุหุ ช่วยกันเฉลยด้วยน่ะครับ ผมก็เป็นแค่เด็กโง่ๆคนนึงที่มีความตั้งใจสูง