เรื่องกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

[Walk_on]

เนื่องจากว่า ผมเป็นครูคณิตศาสตร์ ม.6 แล้วจะต้องสอนเด็กเรื่องนี้ แต่ไปสับสนกับโจทย์ 1 ข้อ เพราะโดนเด็กยิงคำถามมาเหมือนกัน โจทย์เป็นอย่างนี้ครับ

มีจดหมายอยุ่ 4 ฉบับ มี 4 ตุ้ไปรษณีย์ จะส่งจดหมายได้กี่วิธี ถ้า
1. ส่งอิสระ
2. ไม่ซ้ำตู้กัน
3. มีอย่างน้อย 2 ฉบับในตู้เดียวกัน
4. มีอย่างน้อย 2 ฉบับในตู้เดียวกัน แต่ไม่ทุกฉบับในตู้เดียวกัน

ขอเฉลยพร้อมเหตุผลทีนะครับ ส่วนที่ผมคิดไว้คือ
1. 256
2. 24
3. 232
4. 228

[Mathophile]

ที่ผมคิด เป็นตามนี้ครับ

1. จดหมายแต่ละฉบับ เลือกส่งลงตู้ได้ 4 วิธี
เมื่อมีจดหมาย 4 ฉบับ โดยกฏการคูณ จึงได้ว่าจำนวนวิธีทั้งหมด $=4\times 4\times 4\times 4 =4^4=256$ วิธี
(**บางคนจะบอกว่า ทำไมไม่คิดกลับกันว่าตู้ไปรษณีย์แต่ละตู้ เลือกรับจดหมายได้ 4 วิธี
เหตุผลก็คือ ถ้าคิดอย่างนั้น จะทำให้เกิดกรณีที่ว่าตู้ไปรษณีย์แย่งจดหมายฉบับเดียวกันครับ )

2. จดหมายฉบับแรก เลือกส่งลงตู้ได้ 4 วิธี
ฉบับที่สอง เหลือวิธีเลือกส่งลงตู้ได้ 3 วิธี (เพราะมีตู้ที่ใช้ไปแล้ว 1 ตู้)
คิดในทำนองเดียวกันจนถึงจดหมายฉบับสุดท้าย
จะได้ว่า จำนวนวิธีทั้งหมดในกรณีนี้ $=4\times 3\times 2\times 1=24$ วิธี

3. จำนวนวิธีที่มีอย่างน้อย 2 ฉบับในตู้เดียวกัน = จำนวนวิธีแบบอิสระ(ข้อ1) - จำนวนวิธีที่ส่งไม่ซ้ำตู้กัน(ข้อ2)

4. จำนวนวิธีที่มีอย่างน้อย 2 ฉบับในตู้เดียวกัน แต่ไม่ทุกฉบับในตู้เดียวกัน = จำนวนวิธีที่มีอย่างน้อย 2 ฉบับในตู้เดียวกัน(ข้อ3) - จำนวนวิธีที่ทุกฉบับอยู่ในตู้เดียวกัน(ซึ่งเท่ากับ 4 ตามจำนวนตู้)

[Walk_on]

งั้นแสดงว่า ความคิดเหมือนกันครับ
แต่เด็กได้แย้งมาว่า โจทย์ วิธีการส่งจดหมาย ดังนั้น

กรณีที่ส่งจดหมาย ก. ในตู้ที่ 1 และส่งจดหมาย ข. ค. ง. ในตู้ที่ 2 จะไปซ้ำกับ
ส่งจดหมาย ข. ในตู้ที่ 1 และส่งจดหมาย ก. ค. ง. ในตู้ที่ 2 เพราะว่า มันเป็นการส่งจดหมายเสมือนว่า ส่งตู้ที่ 1 ฉบับเดียว กับ ส่งตู้ที่ 2 3 ฉบับ เหมือนกัน เราจะอธิบายยังไงดีครับ

[t.B.]

ปัญหาก็คือ จดหมายและตู้ทั้ง 4 เหมือนกันรึเปล่า? ถ้าไม่เหมือนยังไงก็เป็นของคนละชิ้นอยู่แล้ว ใส่คนละตู้ ยังไงก็เป็นคนละแบบกัน ผลที่ออกมาไม่ได้มองเพียงแค่ใส่ตู้ไหนกี่ใบ แต่ตู้ดูว่าใส่อะไรเข้าไปด้วย

เนื่องจาก ครูผมสอนว่า ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกว่าของเหมือนให้ถือว่าต่าง(เป็นข้อตกลงกันทั่วไปอยู่แล้ว) เช่น จดหมายฉบับแรก อาจจะเขียนถึงพ่อ อีกฉบับเขียนถึงแม่ ตอนส่งไปก็ส่งไปคนละที่อีกฉบับอาจจะจ่าหน้าซองไปที่เชียงใหม่ อีกฉบับก็จ่าหน้าซองไปที่กรุงเทพ โอกาสเหมือนกันจึงน้อยมากๆครับ เพื่อกันความสับสนโจทย์ที่จะให้ผู้ทำโจทย์คิดในแบบของเหมือนก็จะย้ำมาเลยว่าเหมือนกัน แต่สำหรับข้อนี้โจทย์ไม่ได้บอกว่าเหมือน จึงถือว่าทั้ง 4 ฉบับต่างกัน

ปล.ถ้าครูผมสอนไม่เหมือนที่อื่นก็ ขอโทษด้วยละกัน นะครับ

[คusักคณิm]

ศึกษาเพิ่มเติมได้ที่.....................
www.mc41.com/data/pop001.htm
http://www.thaigoodview.com/library/...arn/first.html

[Walk_on]

โอ้ ขอบคุณสำหรับคำตอบ แล้ว ก็ลิ้งค์ ด้วยครับ