โจทย์ยากๆสำหรับเด็กประถม

[Pheeradej]

1.มีคนๆหนึ่งพายเรือทวนน้ำใช้เวลา 7 ชั่วโมง พายเรือตามน้ำใช้เวลา 5 ชั่วโมง ถ้าล่องไปตามน้ำใช้เวลากี่ชั่วโมง
2.1³+2³+3³+...+1000000³=?

[Mastermander]

ประถมจะทำได้หรอเนี่ย

[Pheeradej]

ข้อหนึ่งเป็นโจทย์ดัดแปลงเล็กน้อยของ สสวท. ประถมรอบสองนะครับ (ความจริงคือน้องผมจำเลขไม่ได้อ่ะ)
อีกข้อนึงก็ให้น้องผมที่อยู่ ป.6 คิดเอง ไม่(น่าจะ )ยากเกินเด็กประถมหรอกครับ

[Pheeradej]

(1/2)+(1/6)+(1/12)+(1/20)+(1/30)+(1/42)+...+(1/420)=?

[au]

ข้อ 1. ตอบ 35 ชั่วโมง ไม่รู้ถูกหรือไม่ ตามรายละเอียดดังนี้
สมมุติ
ให้กระแสน้ำไหลด้วยความเร็ว v1 กม./ชม.
พายเรือด้วยความเร็ว v2 กม./ชม. (พายทวนน้ำและตามน้ำ ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน)
ให้ระยะทางทั้งหมดยาว x กม.
ดังนั้น ถ้าล่องไปตามน้ำ (ความเร็วของกระแสน้ำที่ไหล) จะใช้เวลา x/v1 ชั่วโมง -------(1)
จากโจทย์จะได้
ความเร็วของเรือที่พายตามน้ำคือ ความเร็วของการพายเรือ + ความเร็วของกระแสน้ำไหล = v1 + v2
ความเร็วของเรือที่พายทวนน้ำคือ ความเร็วของการพายเรือ - ความเร็วของกระแสน้ำไหล = v2 - v1
พายเรือตามน้ำใช้เวลา = 5 = x/(v1+v2) ---> 5(v1+ v2) = x ------- (2)
พายเรื่อทวนน้ำใช้เวลา = 7 = x/(v2-v1) ---> 7(v2 - v1) = x ------- (3)
จาก (2) และ (3) จะได้ v2=6v1 แทนค่า x จาก (2) หรือ (3) ใน (1) จะได้ว่าถ้าล่องไปตามกระแสน้ำจะต้องใช้เวลา 35 ชั่วโมง

ส่วนข้อนี้ $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + ...... + \frac{1}{420}$ = ?
ไม่ยากครับ แต่ต้องรู้เทคนิคนิดหน่อย
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + ...... + \frac{1}{420}$
= 1 - $\frac{1}{2} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} + \frac{4}{12} - \frac{3}{12} + \frac{5}{20} - \frac{4}{20} + \frac{6}{30} - \frac{5}{30} + \frac{7}{42} - \frac{6}{42} + .... + \frac{21}{420} - \frac{20}{420}$
= 1 - $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + .... + \frac{1}{20} - \frac{1}{21}$
= 1 - $\frac{1}{21} = \frac{20}{21}$

[Pheeradej]

โจทย์ดัดแปลงนิ ดหน่อย
1/3+1/15+1/35+1/63+...+1/339=?

[nongtum]

พิมพ์โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ หากจะให้ใช้ telescope sum ได้ มันต้องเป็น 399=21x19 นะครับ (339=3x113)

[au]

1. ผู้เชี่ยวชาญคณิตศาสตร์ช่วยตอบด้วยครับว่าข้อที่เกี่ยวกับการพายเรือผมทำถูกหรือไม่ครับ
2. การหาผลบวกของเศษส่วนข้อใหม่ ก็ใช้หลักการเดิม และค่าสุดท้ายน่าจะผิดแบบที่คุณNongtum บอก
3. คุณ Nongtum ครับ หลักการ Telescope Sum เป็นอย่างไรหรือครับ ผมอยากรู้จัง

[Mastermander]

Telescpoing Series

คืออนุกรมที่เศษส่วนอยู่ในรูปแบบของลำดับเลขคณิตคูณกัน

คืออนุกรมที่สามารถแยกเศษส่วนออกมาแล้วมีพจน์ที่หักล้างกันได้

ตัวอย่าง

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30
http://www.mathcenter.net/review/rev...iew15p04.shtml

[au]

ขอบคุณคร๊าบ อะไรจะวิเศษเช่นนี้

[gon]

อย่าเพิ่งเชื่อทั้งหมดในสรุปชุดดังกล่าวนะครับ มีบางส่วนที่ผิดพลาดอยู่ ยังไม่ได้แก้ไข

[warut]

Telescoping series ไม่จำเป็นต้องอยู่ในรูปเศษส่วนครับ ขอให้มันตัดกันได้ก็พอ ตัวอย่างเช่น

ให้ $F_k$ แทน Fibonacci number ตัวที่ $k$ นั่นคือ $F_1= F_2=1$ และ $F_{k+2}= F_{k+1}+ F_k$ เมื่อ $k\ge1$

ผลบวกของอนุกรม $$ \sum_{k=1}^n F_k$$ ก็สามารถหาค่าได้ โดยการเปลี่ยนให้ไปอยู่ในรูปของ telescoping series ครับ

ส่วนข้อพายเรือ น้อง au ทำถูกแล้วครับ

[Pheeradej]

ขอโทษครับ พิมพ์โจทย์ผิดครับอย่างที่คุณ Nongtum บอก

[Pheeradej]

หาค่าของ (1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6)+(1+2+3+4+5+6+7)+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)+...+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+1 1+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30)=?

[Michael Owen 2]

ผมจะตอบคำถาม ของคุณ Pheeradej ไปทีละข้อนะคับ

ข้อพายเรือ คิดได้ 35 เหมือนกันคับ (ในใจ)

ข้อ 1³+2³+...+1000000³
= (1+2+...+1000000)² (not hard to prove)
ก้คิดอีกนิดละกันนะคับ จบแล้ว

ข้อ 1/2+1/6+...+1/420 = 20/21

ขอผมคิดข้อสุดท้านก่อนนะคับ