ขอโจทย์ สมการเชิงฟังก์ชันหน่อยครับ

[CmKaN]

ก็ตามหัวข้อครับ แต่ขอเป็นแบบพื้นฐานก่อนแล้วค่อยๆยากน่ะครับ

[M@gpie]

จัดให้ครับ

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $f(x+y)=f(x)+f(y)$

[nooonuii]

จัดให้ครับ

1. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x+y)=xf(y)$

2. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x+y)=x + f(y)$

3. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x+y^2)=x^2f(y)$

4. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $f(xy^2)=x^2f(y)$

ป.ล. แต่ละข้อควรคิดไม่เกิน 5 นาทีครับ

[CmKaN]

ของพี่ M@gpie
$f(x) = x$
ของพี่ nooonuii
$1. f(x)= 0$
$2.f(x) = x+c$เมื่อ$c$คือค่าคงที่
$3.f(x) = 0$
$4.f(x) = 0$
ไม่ค่อยแน่ใจน่ะครับ แล้วขอเป็นสมการเชิงฟังก์ชันที่ต้องใช้พวกฟังก์ชันลด พหุนามมาช่วยได้ไหมครับ
ขอแบบง่ายๆก่อนเหมือนเดิมครับ อยากทราบเทคนิก ขอบคุณครับ

[dektep]

$1.y=0;f(x)=0$
$2.y=0;f(x)=x+c$
ั$3.y=0;f(x)=0$
$4.y=1;f(x)=0$

[M@gpie]

สมการที่พี่ให้เรียกว่าสมการโคชี นะครับ คำตอบอยู่ในรูป $f(x)=cx$ ครับ น้อง CmKan ตอบไม่ครบ ครับ อาจจะผิดพลาดตอนหาลองตรวจสอบดูใหม่ครับ

[CmKaN]

อืม ขอบคุณครับ
ขอโจทย์เพิ่มครับที่ใช้พวกฟังก์ชันเพิ่มลด 1-1 ทั่วถึง ความเป็นพหุนามมาช่วยได้ไหมครับ
แล้วก็อยากได้สมการเชิงฟังก์ชันที่ใช้สมการโคชีด้วยครับ

[nooonuii]

5. จงหาพหุนามทั้งหมดที่สอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $P(x+P(y))=P(x)+P(y)$

6. จงหาพหุนามทั้งหมดที่สอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $P(x^2-x)=xP(x-1)$

[CmKaN]

ข้อ 5
จาก$P(x+P(y))=P(x)+P(y)$
แทน$x=0$ได้$P(P(y))=P(y)+P(0)---(*)$
ให้degree $P(y)=n$
$\therefore n^{2}=n$
ได้$n=0,1$

กรณี $n=0$ ได้ $P(y)$คือค่าคงตัว
ให้ $P(y)=c$
แทนกลับสมการแรกจะได้ $c=0$
$\therefore P(y)=0$เป็นหนึ่งในฟังก์ชัน

กรณี $n=1$ ได้ $P(y)=ay+b$
แทนใน $(*)$
$a(ay+b)+b=ay+b+b$
$a^{2}y+ab+b=ay+2b$
เทียบส.ป.ส.ได้ $a^{2}=a$
$a=1$ เนื่องจาก 0 ใช้ไม่ได้
ได้$2b=2b$
$b\in \mathbb{R} $
$\therefore P(y)=y$เป็นหนึงในฟังก์ชัน
$\therefore P(y)=0,P(y)=y+b$เมื่อ$b$เป็นจำนวนจริง เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการ

ป.ล.ขอhintข้อ6นิดนึงครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

ข้อ 5
จาก$P(x+P(y))=P(x)+P(y)$
แทน$x=0,y=0$
ได้$P(0)=0$

ได้มายังไงครับ คำตอบไม่ครบครับ ตอนวิเคราะห์ degree ทำมาถูกทางแล้ว

ข้อ 6

Hint :

แยกตัวประกอบของ $P(x)$ ได้ แยกออกมาก่อน แล้วสร้างสมการเชิงฟังก์ชันใหม่

[CmKaN]

ข้อ 6
จาก$P(x^{2}-x)=xP(x-1)$
แทน$x=0 => P(0)=0$
แสดงว่า$x$เป็นตัวประกอบของ$P(x)$
แทน$x=x+1 => P(x^{2}+x) = (x+1)P(x)---(*)$
ให้$P(x)=xQ(x)---(**)$
แทน$x=x^{2}+x =>P(x^{2}+x)=(x^{2}+x)(Q(x^{2}+x)---(***)$
แทน$(**),(***)$ใน$(*)$
$Q(x)=Q(x^{2}+x)$
$\therefore Q(x)=c$ เมื่อ $c$ คือค่างคงตัว
แทน$Q(x)=c$ใน$(**)$
$\therefore P(x)=ac$เมื่อ$c$คือค่าคงตัว

[CmKaN]

ขอ Hint ข้อนีี้หน่อยครับ
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} -\left\{3\right\} $
$w>0$
$f(x+w)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$ สำหรับทุก $x\in \mathbb{R} $
พิสูจน์ว่า$f$เป็นฟังก์ชันคาบ

ป.ล.แก้ข้อ5แล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

ขอ Hint ข้อนีี้หน่อยครับ
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} -\left\{3\right\} $
$w>0$
$f(x+w)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$ สำหรับทุก $x\in \mathbb{R} $
พิสูจน์ว่า$f$เป็นฟังก์ชันคาบ

ป.ล.แก้ข้อ5แล้วครับ

Hint:

เขียนให้เป็น $f(x+w)=g(f(x))$ เมื่อ $g(x)=\dfrac{x-5}{x-3}$

ลองสังเกตพฤติกรรมของ

$g(x)$
$g\circ g(x)$
$g\circ g\circ g(x)$
$g\circ g\circ g \circ g(x)$
$\vdots$

ว่าเป็นอย่างไร

[CmKaN]

ขอบคุณครับคิดออกแล้วครับ
$f(x+w)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$
$f(x+2w)=\frac{f(x+w)-5}{f(x+w)-3}=\frac{2f(x)-5}{f(x)-2}$
$f(x+3w)=...=\frac{3f(x)-5}{f(x)-1}$
$f(x+4w)=...=f(x)$
$\therefore f(x)$เป็นฟังก์ชันคาบ

[RoSe-JoKer]

เอาไปลองทำดูนะครับ