ขอโจทย์ สปส. ทวินาม หน่อยครับ

[กิตติ]

การเลือก$u$มาก่อน เป็นวิธีที่ร้ายกาจจริงๆ คมครับคม เพราะคงเห็นว่ามี3เป็นตัวคูณอยู่
อยากได้คำตอบคงต้องแทนทุกค่าที่หามาได้นั่นแหละครับ
วิธีหนึ่งที่สั้นที่ผมเคยเห็นแต่ผมยังทำไม่เป็นคือ วิธีที่คุณOnasdiเคยทำให้ดู รู้สึกว่าจะเป็นการเจนเนอเรตฟังก์ชัน
ยังไงก็ลองขอให้คุณOnasdiช่วยสละเวลามาทำให้ดูก็ได้นี่ครับ....

[Siren-Of-Step]

ช่วยเริ่มข้อ 2 ให้หน่อยครับ คือ ผมไม่รู้จะเริ่มยังไงเลยอะครับ

[gon]

ข้อ 2. จากทฤษฎีบททวินาม $$(a+b)^n = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$$

ตัวอย่าง

ดังนั้น $$(1+x)^{2n} = \sum_{r = 0}^{2n}\binom{2n}{r}1^{2n-r}x^r$$ถ้า r = n จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n}{n} $
$$x(1+x)^{2n-1} = x\sum_{r = 0}^{2n-1}\binom{2n-1}{r}1^{2n-1-r}x^r$$ถ้า r = n-1 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n-1}{n-1} = \binom{2n-1}{n}$


$$x^2(1+x)^{2n-2} = x^2 \sum_{r = 0}^{2n-2}\binom{2n-2}{r}1^{2n-2-r}x^r$$ถ้า r = n-2 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n-2}{n-2} = \binom{2n-2}{n}$

...

$$x^n(1+x)^{n} = x^n \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}1^{n-r}x^r$$ถ้า r = 0 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{n}{0} = \binom{n}{n}$

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{n}{n}+\binom{n+1}{n}+...+\binom{2n-1}{n}+\binom{2n}{n} = \binom{2n+1}{n+1} $

(โดย Pascal หรือ Chu Shih-Chieh's Identity)

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

การเลือก$u$มาก่อน เป็นวิธีที่ร้ายกาจจริงๆ คมครับคม เพราะคงเห็นว่ามี3เป็นตัวคูณอยู่
อยากได้คำตอบคงต้องแทนทุกค่าที่หามาได้นั่นแหละครับ
วิธีหนึ่งที่สั้นที่ผมเคยเห็นแต่ผมยังทำไม่เป็นคือ วิธีที่คุณOnasdiเคยทำให้ดู รู้สึกว่าจะเป็นการเจนเนอเรตฟังก์ชัน
ยังไงก็ลองขอให้คุณOnasdiช่วยสละเวลามาทำให้ดูก็ได้นี่ครับ....

ผมนึกไม่ออกเลยครับว่าหมายถึงวิธีไหน คนทำอาจจะเป็นท่านอื่นมั้งครับ
ผมคิดว่าวิธีของคุณ MiNd169 ก็สั้นแล้วครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ผมนึกไม่ออกเลยครับว่าหมายถึงวิธีไหน คนทำอาจจะเป็นท่านอื่นมั้งครับ
ผมคิดว่าวิธีของคุณ MiNd169 ก็สั้นแล้วครับ

่ใช้ generating function อ่ะครับ

ผมก็ไม่ค่อยเข้าใจ ช่วยสอนด้วยนะครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

่ใช้ generating function อ่ะครับ

ผมก็ไม่ค่อยเข้าใจ ช่วยสอนด้วยนะครับ

generating function ผมไม่เคยใช้เลยครับ คงเป็นท่านอื่น
ใช้ไม่ค่อยเป็นด้วยครับ เท่าที่รู้คือเราสามารถแปลงโจทย์การนับไปเป็นผลคูณของพหุนามได้
แล้วหาจำนวนวิธีการนับบางอย่างจากสัมประสิทธิ์ของ $x^?$ มั้งครับ
แต่นี่ให้หาสัมประสิทธิ์ แปลงกลับไปเป็นการนับก็ได้เป็น

มีกี่วิธีที่จะเลือกมา 199 ชิ้น จากขนม 99 ชนิด โดยที่ต้องเลือกแต่ละชนิดมา 1,3,5,7 ชิ้นพอดี

ดูไม่น่าจะช่วยครับ

นับอย่างที่น้อง Siren ทำก็ดูโอเคดีแล้วครับ รอคนตั้งโจทย์มาเฉลยแล้วกัน

[poper]

ท่านที่ชอบใช้ generating function คือคุณห้าดาวครับ
ผมก็ทำไม่เป็น

[กิตติ]

ผมสับสนอีกแล้ว น่าจะเป็นคุณห้าดาวอย่างที่คุณPoperว่า
ขอโทษด้วยครับคุณOnasdi....เหมือนถูกบีบให้ทำในสิ่งที่ไม่ถนัด....เอ้าไปเชิญท่านห้าดาวมาช่วยแล้วกัน
ผมไปก่อนล่ะครับ ไม่เกี่ยวกับผมน่ะ

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

generating function ผมไม่เคยใช้เลยครับ คงเป็นท่านอื่น
ใช้ไม่ค่อยเป็นด้วยครับ เท่าที่รู้คือเราสามารถแปลงโจทย์การนับไปเป็นผลคูณของพหุนามได้
แล้วหาจำนวนวิธีการนับบางอย่างจากสัมประสิทธิ์ของ $x^?$ มั้งครับ
แต่นี่ให้หาสัมประสิทธิ์ แปลงกลับไปเป็นการนับก็ได้เป็น

มีกี่วิธีที่จะเลือกมา 199 ชิ้น จากขนม 99 ชนิด โดยที่ต้องเลือกแต่ละชนิดมา 1,3,5,7 ชิ้นพอดี

ดูไม่น่าจะช่วยครับ

นับอย่างที่น้อง Siren ทำก็ดูโอเคดีแล้วครับ รอคนตั้งโจทย์มาเฉลยแล้วกัน

โจทย์ของผมไม่มีเฉลยอะครับเอามาลงให้ช่วยกันคิดครับ
ตรงgenerating functionผมก็ไม่เป็นเช่นกันครับผมใช้วิธีเดียวกันกับพี่sirenครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 2. จากทฤษฎีบททวินาม $$(a+b)^n = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$$

ตัวอย่าง

ดังนั้น $$(1+x)^{2n} = \sum_{r = 0}^{2n}\binom{2n}{r}1^{2n-r}x^r$$ถ้า r = n จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n}{n} $
$$x(1+x)^{2n-1} = x\sum_{r = 0}^{2n-1}\binom{2n-1}{r}1^{2n-1-r}x^r$$ถ้า r = n-1 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n-1}{n-1} = \binom{2n-1}{n}$


$$x^2(1+x)^{2n-2} = x^2 \sum_{r = 0}^{2n-2}\binom{2n-2}{r}1^{2n-2-r}x^r$$ถ้า r = n-2 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n-2}{n-2} = \binom{2n-2}{n}$

...

$$x^n(1+x)^{n} = x^n \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}1^{n-r}x^r$$ถ้า r = 0 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{n}{0} = \binom{n}{n}$

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{n}{n}+\binom{n+1}{n}+...+\binom{2n-1}{n}+\binom{2n}{n} = \binom{2n+1}{n+1} $

(โดย Pascal หรือ Chu Shih-Chieh's Identity)

ของพี่gon$ \binom{2n+1}{n+1}$ตอนสุดท้ายนี้มาไงอะครับ

[gon]

จากเอกลักษณ์ของปาสกาลไงครับ $$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r} $$ประยุกต์ซ้ำ ๆ ตัวอย่างเช่น

$\binom{8}{4}$

$= \binom{7}{3} + \binom{7}{4}$

$= \binom{7}{3} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4}$

$= \binom{7}{3} + \binom{6}{3} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4}$

$= \binom{7}{3} + \binom{6}{3} + \binom{5}{3} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4}$

$= \binom{7}{3} + \binom{6}{3} + \binom{5}{3} + \binom{4}{3} + \binom{3}{3}$

หรือ $$\binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3} = \binom{8}{4}$$

[{([Son'car])}]

อ่อขอบคุณครับ