ถามโจทย์2วิธี2คำตอบ

[first]

กำหนดให้ จำนวนเชิงซ้อน $z_1 ,z_2 ,z_3$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง
ถ้า $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3} ,z_1z_2 = 1+i ,z_2z_3 = 2+2i ,z_3z_1 = 3+4i$ แล้ว
$z^2_1+z^2_2+z^2_3 = 6+7i$ เป็นจริงหรือไม่
คือผมไปดูเฉลยมันมี2วิธีอ่ะครับ คำตอบไม่เหมือนกันด้วย

Sol1
$z^2_1 = \frac{z_1z_2\bullet z_3z_1}{z_2z_3} = \frac{(1+i)(3+4i)}{2+2i} = \frac{3}{2}+2i$
$z^2_2 = \frac{z_1z_2\bullet z_2z_3}{z_3z_1} = \frac{(1+i)(2+2i)}{3+4i} = \frac{16}{25}+\frac{12}{25}i$
$z^2_2 = \frac{z_2z_3\bullet z_3z_1}{z_1z_2} = \frac{(2+2i)(3+4i)}{1+i} = 6+8i$
จะได้$z^2_1+z^2_2+z^2_3 = \frac{407}{50}+\frac{262}{25}i$
เพราะฉะนั้นไม่เป็นจริง

Sol2
พบว่า $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$(z_3-z_1)^2 = [\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i]^2(z_2-z_1)^2$
$z^2_3-2z_3z_1+z^2_1 = [\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i](z^2_2-2z_2z_1+z^2_1) ... (1)$
และ $\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2} = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$(z_3-z_2)^2 = [\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i]^2(z_1-z_2)^2$
$z^2_3-2z_3z_2+z^2_2 = [\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i](z^2_2-2z_2z_1+z^2_1) ... (2)$
นำ (1)+(2) จะได้ $2z^2_3-2z_3z_1-2z_3z_2+z^2_1+z^2_2 = [\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}](z^2_2-2z_2z_1+z^2_1)$
$2z^2_3-2z_3z_1-2z_3z_2+z^2_1+z^2_2 = (-1)(z^2_2-2z_2z_1+z^2_1)$
$2z^2_3-2z_3z_1-2z_3z_2+z^2_1+z^2_2 = -z^2_2+2z_2z_1-z^2_1)$
$2(z^2_1+z^2_2+z^2_3) = 2(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)$
$(z^2_1+z^2_2+z^2_3) = (z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)$
$(z^2_1+z^2_2+z^2_3) = (1+i)+(2+2i)+(3+4i)$
จะได้ $(z^2_1+z^2_2+z^2_3) = 6+7i$
เพราะฉะนั้นเป็นจริง

ช่วยบอกด้วยครับว่าวิธีไหนถูกต้อง

[-Math-Sci-]

ข้อสอบ มีค 45

ตอนที่ผมทำก็ใช้วิธีที่ 1 นะ

ตรงกับเฉลย

น่าจะเกี่ยวกับข้อจำกัดของสามเหลี่ยมรึเปล่าหว่า -0-

[lek2554]

ผมมองว่าโจทย์บกพร่องครับ จากข้อ 19
http://www.mathcenter.net/ent/254508/254508p02.shtml

เงื่อนไขแรก
กำหนดให้ จำนวนเชิงซ้อน $z_1 ,z_2 ,z_3$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง
ถ้า $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3}$ น่าจะใช้สำหรับคำถามข้อ (1)

เงื่อนไขที่สอง
$z_1z_2 = 1+i ,z_2z_3 = 2+2i ,z_3z_1 = 3+4i$ น่าจะใช้สำหรับคำถามข้อ (2)