โจทย์แก้เหงา ซีรี่เรขาคณิต อย่าคิดยากๆ

[banker]

AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มีความยาว 8 หน่วยของครึ่งวงกลมดังรูป
ถ้าหมุนครึ่งวงกลมนี้ โดยให้ A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน เป็นมุม 45 องศา
และทำให้ AB เคลื่อนที่มาเป็น AC แล้ว
พื้นที่ส่วนที่แรเงาเป็นกี่ตารางหน่วย (ตอบในรูปของ $\pi $)

(ข้อสอบแข่งขันฯ คณิตศาสตร์ โรงเรียนเบญจมราชูทิศ ราชบุรี วันเสาร์ที่ 1 ธันวาคม 2550)

[James007]

ผมควรตอบหรือเปล่า? เผื่อน้องๆ ที่คิดไม่ออกแล้วกันครับ

Solution

เราคิดพื้นที่แรเงาได้จาก...
พื้นที่แรเงา = พื้นที่ครึ่งวงกลม $AB$ + พื้นที่เซกเตอร์ $ABC$ - พื้นที่ครึ่งวงกลม $AC$
แต่ $AB=AC$ ทำให้ พื้นที่ครึ่งวงกลม $AB$ = พื้นที่ครึ่งวงกลม $AC$
ดังนั้น พื้นที่ที่แรเงา = พื้นที่เซกเตอร์ $ABC$ = $\frac{45°}{360°}\cdot\pi\cdot 8^2
= 8\pi $ ตารางหน่วย ครับ

[หมาป่าขาว]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

ผมควรตอบหรือเปล่า? เผื่อน้องๆ ที่คิดไม่ออกแล้วกันครับ

Solution
เราคิดพื้นที่แรเงาได้จาก...
พื้นที่แรเงา = พื้นที่ครึ่งวงกลม $AB$ + พื้นที่เซกเตอร์ $ABC$ - พื้นที่ครึ่งวงกลม $AC$
แต่ $AB=AC$ ทำให้ พื้นที่ครึ่งวงกลม $AB$ = พื้นที่ครึ่งวงกลม $AC$
ดังนั้น พื้นที่ที่แรเงา = พื้นที่เซกเตอร์ $ABC$ = $\frac{45°}{360°}\cdot\pi\cdot 8^2
= 8\pi $ ตารางหน่วย ครับ

มันแสดงผลออกมาไม่ได้อ่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

เราคิดพื้นที่แรเงาได้จาก...
พื้นที่แรเงา = พื้นที่ครึ่งวงกลม $AB$ + พื้นที่เซกเตอร์ $ABC$ - พื้นที่ครึ่งวงกลม $AC$
แต่ $AB=AC$ ทำให้ พื้นที่ครึ่งวงกลม $AB$ = พื้นที่ครึ่งวงกลม $AC$
ดังนั้น พื้นที่ที่แรเงา = พื้นที่เซกเตอร์ $ABC$ = $\frac{45^\circ}{360^\circ }\cdot\pi\cdot 8^2
= 8\pi $ ตารางหน่วย ครับ

แบบนี้ครับ

[หมาป่าขาว]

ตอบ$7.6\pi$ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หมาป่าขาว

ตอบ$7.6\pi$ครับ

ผิดครับ

ลองคิดใหม่นะครับ ของประถมก็คิดง่ายๆ

อย่าคิดยากๆ มันจะยาก

[หมาป่าขาว]

ผมคิดแบบนี้อ่ะครับ
1.

2.

3.


จากภาพ2.จะเห็นว่าวงกลมไม่ได้ตัดกันที่C
จากนั้นผมก็ต่อเส้นรอบวงดังภาพ3. เพื่อให้อธิบายได้ง่ายขึ้น
ผมขอกำหนดให้จุดOเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมABและกำหนดให้จุดPเป็นจุดตัดระหว่างวงกลมทั้งสอง(ตรงข้ามกับจุดAและอยู่ระหว่างBกับC)
จากนั้นต่อOPแล้วจะเห็นว่า$A\hat OP$มีขนาด$135^\circ $
จากนั้่นใช้สูตร$\frac{1}{2}r^2(\theta - sin\theta )$ในการหาพ.ท.Segment
จากนั้นแทนค่าลงในสูตรดังนี้$\frac{1}{2}4^2(\frac{3}{4}\pi - 0.7071) = 13.2003$
พ.ท.แรเงาที่ต้องการ = พ.ท.วงกลม - 2พ.ท.Segment
$= \pi r^2 - 2\times 13.2003$
$= 50.2857 - 26.4006$
$= 23.8851$
$=7.5998\pi $

[banker]

บอกแล้วว่า โจทย์ประถม อย่าคิดยากๆ มันจะยาก




$P + Q = Q + R$ (ครึ่งวงกลมเท่าเดิม)

$P = R$

$P + S = S + R$

พื้นที่แรเงา = sector $45^\circ$ ที่มีรัศมี 8 หน่วย

พื้นที่แรเงา = $\frac{45}{360}\cdot \pi \cdot 8^2$

= $\frac{1}{8} \cdot \pi \cdot 8^2$

= $8 \pi $

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

บอกแล้วว่า โจทย์ประถม อย่าคิดยากๆ มันจะยาก

ที่คุณ หมาป่าขาว คิดยากเพราะดูรูปแล้วดันไปสื่ออีกแบบมั้งครับ ลองดูรูปนี้ครับ



จริงๆ ข้อนี้แม้ว่าจะเขียนรูปผิด แต่ถ้าสังเกตจะพบว่าคอร์ดที่ยาวที่สุดก็คือ เส้นผ่านศูนย์กลางนั่นเองซึ่งจะให้ AC เท่ากับ AB แล้วอยู่ในวงกลมเดียวกันดังรูปคงเป็นไปไม่ได้

[หมาป่าขาว]

คุณหยินหยางหมายความว่าส่วนโค้งABกับส่วนโค้งBCเป็นคนละส่วนโค้งกันใช่ไหมครับ
แต่ว่าผมคิดว่ามันเป็นส่วนโค้งเดียวกันก็เลยคิดแบบนั้นอ่ะครับ ข้อนี้ก็คงต้องโทษโจทย์ ที่วาดมาไม่ดีล่ะสิครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หมาป่าขาว

คุณหยินหยางหมายความว่าส่วนโค้งABกับส่วนโค้งBCเป็นคนละส่วนโค้งกันใช่ไหมครับ
แต่ว่าผมคิดว่ามันเป็นส่วนโค้งเดียวกันก็เลยคิดแบบนั้นอ่ะครับ ข้อนี้ก็คงต้องโทษโจทย์ ที่วาดมาไม่ดีล่ะสิครับ

ใช่ครับ คือ ถ้ากลับไปอ่านโจทย์อีกทีโดยไม่ดูรูปแล้วเขียนรูปเองจะเข้าใจครับ

[หมาป่าขาว]

ดูแต่โจทย์มันจะไปรู้เรื่องได้ไงล่ะครับ...ก็เขาถามพ.ท.แรเงาแล้วถ้าไม่มีรูปจะรู้ได้ไงว่ามันแรเงาตรงไหน

[หมาป่าขาว]

คุณหยินหยางครับ ผมลองไปวาดรูปตามที่โจทย์บอกแต่มันไม่เป็นแบบที่คุณบอกเพราะว่าส่วนโค้งBCมันวาดไม่ได้อ่ะครับ
ผมลองใช้ไม้โปรเทกเตอร์กับวงเวียนสร้างภาพแล้วแต่มันก็ไม่ได้อยู่ดี แต่อย่างไรก็ตามข้อนี้โจทย์บอกว่าหมุนโดยAเป็นจุดหมุน ส่วนการวาดวงกลมนั้นจะวาดโดยการหมุนรัศมี ไม่ใช่จุดศูนย์กลางดังนั้นโจทย์ข้อนี้ก็น่าจะมี2คำตอบคือถ้าBCเป็นแนวการหมุนของABไปเป็นAC ก็จะตอบ8$\pi $ แต่ถ้าBCไม่มีจริงแต่เป็นส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมABแล้ว ก็จะตอบ7.5998$\pi $ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หมาป่าขาว

ดูแต่โจทย์มันจะไปรู้เรื่องได้ไงล่ะครับ...ก็เขาถามพ.ท.แรเงาแล้วถ้าไม่มีรูปจะรู้ได้ไงว่ามันแรเงาตรงไหน

บอกว่าให้ไปอ่านโจทย์ไม่ได้บอกให้ไปดูโจทย์มิน่าเล่ามันจะไปเข้าใจได้อย่างไร ส่วนที่บอกว่าแล้วจะรู้ได้อย่างไรว่า พ.ท. แรเงาอยู่ตรงไหน
ก็ไม่ได้จะให้ดูพื้นที่แรเงา ที่ไม่เข้าใจก็คือส่วนโค้ง BC ไม่ใช่หรือ เอาทีละขั้นก่อนอย่าใจร้อน ไม่งั้นก็ไม่เข้าใจแบบนี้แหละ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หมาป่าขาว

คุณหยินหยางครับ ผมลองไปวาดรูปตามที่โจทย์บอกแต่มันไม่เป็นแบบที่คุณบอกเพราะว่าส่วนโค้งBCมันวาดไม่ได้อ่ะครับ
ผมลองใช้ไม้โปรเทกเตอร์กับวงเวียนสร้างภาพแล้วแต่มันก็ไม่ได้อยู่ดี แต่อย่างไรก็ตามข้อนี้โจทย์บอกว่าหมุนโดยAเป็นจุดหมุน ส่วนการวาดวงกลมนั้นจะวาดโดยการหมุนรัศมี ไม่ใช่จุดศูนย์กลางดังนั้นโจทย์ข้อนี้ก็น่าจะมี2คำตอบคือถ้าBCเป็นแนวการหมุนของABไปเป็นAC ก็จะตอบ8$\pi $ แต่ถ้าBCไม่มีจริงแต่เป็นส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมABแล้ว ก็จะตอบ7.5998$\pi $ครับ

กลับไปอ่านโจทย์อีกครั้งและที่ผมได้เขียนอธิบายในรูป เพราะวิธีการและคำตอบได้อยู่ในนั้นทั้งหมดแล้ว ถ้ายังไม่รู้เรื่องให้ทำซ้ำอีกครั้ง ถ้าไม่รู้เรื่องจริงๆ ให้ดูข้างล่างนี่

พยายามก่อนค่อยเปิดดู

นึกแล้วว่าต้องเปิดดู
โจทย์บอกชัดเจนว่าให้หมุนครึ่งวงกลม โดยให้ A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน เป็นมุม 45 องศา
และทำให้ AB เคลื่อนที่มาเป็น AC แล้ว ดังนั้นส่วนโค้ง BC ก็ต้องเป็นส่วนโค้งของวงกลมที่มี A เป็นจุดศูนย์กลางและมีรัศมีคือ AB นั่นเอง (AB=AC)

ขยายความ เป็นเพราะคุณ หมาป่าขาวไปเข้าใจเอาเองว่า ส่วนโค้ง BC เป็นส่วนโค้งของวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง(รัศมีคือ AB/2)
ซึ่งถ้าไปอ่านข้อสังเกตที่ผมบอกไว้ก่อนหน้านี้ ว่าคิดแบบคุณหมาป่าขาวไม่น่าจะเป็นไปได้

[banker]

รูปที่วาดตามที่โจทย์บรรยาย (ใช้วงเวียนวาดครับ)