ตรีโกณ ครับ

[echimaru]

กำหนดให้ สามเหลี่ยม ABC มี $\frac{sin A}{sin B} =\sqrt{2}$ และ $\frac{tan A}{tan B} =\sqrt{3}$
จงหาค่าของ A,B

คือผมทำออกมาแล้วไม่ได้อ่ะครับ ขอวิธีทำแบบการจัดรูปนะครับแบบนี้
$cos^2 B = x$
$sin^2 B = 1 - x$
$tan^2 B =\frac{1-x}{x}$

$sin^2 A=2-2x$
$tan^2 A = \frac{3-3x}{x}$
$ส่วน cos^2 A = \frac{2x}{3}$

ผมเหลือแค่หา x อ่ะครับแต่ถ้าแทนลงไปในสมการ
$\frac{sin A}{sin B} =\sqrt{2}$
$\frac{tan A}{tan B} =\sqrt{3}$
มันจะได้คำตอบแบบนี้อ่ะครับ 2=2
เพื่อนบอกว่าให้หาจาก $sin^2 A +cos^2 A = 1$
แล้วจะได้ แต่ผมยังงอยู่ทำไมต้องหา x จาก $sin^2 A +cos^2 A = 1$ ครับแต่รู้คำตอบแล้ว อยากจะหายงง

[กิตติ]

$sin^2A=2sin^2B$
$cos^2A=\frac{2}{3}cos^2B $
$2sin^2B+\frac{2}{3}cos^2B=1$
$2(1-cos^2B)+\frac{2}{3}cos^2B=1$
$6-4cos^2B=3$
$3-4c0s^2B=0$
$(\sqrt{3}-2cosB )(\sqrt{3}+2cosB)=0$
โจทย์กำหนดให้$B$ เป็นมุมในสามเหลี่ยม ดังนั้นค่า $cosB$ ไม่เกิน 180 องศา เป็นมุมแหลมก็ได้ มุมป้านก็ได้
$cosB=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} $
$sinB=\frac{1}{2} $
ดังนั้นมุม $B$ เป็นได้ทั้ง $30$ หรือ $150$ องศา แต่เราตัดมุม $150$ องศาออกเพราะบวกกับค่ามุม$A$ ที่หาได้แล้ว เกิน$180$ องศา
$sinA=\frac{1}{\sqrt{2} } $
$cosA=\pm \frac{1}{\sqrt{2} }$
ดังนั้นมุม $A$ เป็นได้ทั้ง $45$ หรือ $135$ องศา แต่เราตัดมุม $135$ องศาออกเพราะบวกกับค่ามุม$B$ ที่หาได้แล้ว เกิน$180$ องศา
ดังนั้นค่าของมุม$A,B$ ที่สอดคล้องกับโจทย์คือ $45,30$

[echimaru]

ข้อที่ 2 นะครับ

กำหนดให้ $tan A + sin A =m,tan A-sinA=n$
จงแสดงว่า $m^2-n^2=4\sqrt{mn}$

[yellow]

$mn = tan^2 A - sin^2 A$

$ = sin^2 A(\frac{1}{cos^2 A} - 1 )$

$ = sin^2 A(\frac{1-cos^2 A}{cos^2 A})$

$ = sin^2 A$ $tan^2 A$

$m + n = 2 tan A$

$m - n = 2 sin A$

$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$

$= (2 tan A) (2 sin A)$

$= 4 sin A$ $tan A$

$ = 4 \sqrt{mn}$