ตะลุยโจทย์กัน ^_______^

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1. $\sqrt[3]{a-b} + \sqrt[3]{b-c} = - \sqrt[3]{c-a}$
จงหาค่าของ $2009(a-b)(b-c)(c-a)$

เนื่องจาก $\sqrt[3]{a-b} + \sqrt[3]{b-c} + \sqrt[3]{c-a} = 0$ ดังนั้น $(a-b)(b-c)(c-a) = 0$
นั้นคือ $2009(a-b)(b-c)(c-a) = 0$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

มาเพิ่มให้ ง่ายมาก ๆ



จงหาค่าของ $2009(a-b)(b-c)(c-a)$
2. $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 4$
$\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = 5$

จงหา $(a+b)(b+c)(c+a)$
ถ้าผิดพลาดข้อไหนช่วยบอกทีงับ

คำตอบเป็นตัวเลขหรือเปล่าครับ หรือติดค่า abc

ตอบ 11abc ?

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

คำตอบเป็นตัวเลขหรือเปล่าครับ หรือติดค่า abc

ตอบ 11abc ?

แสดงวิธีทำด้วย ครับ ลุง ๆ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

มาเพิ่มให้ ง่ายมาก ๆ


2. $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 4$
$\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = 5$

จงหา $(a+b)(b+c)(c+a)$
ถ้าผิดพลาดข้อไหนช่วยบอกทีงับ

$\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 4$ ..... (1)

$\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = 5$ ......(2)

(1) + (2) $ \ \ \frac{a+c}{b} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+b}{c} = 9$

$\dfrac{ac(a+c) + bc(b+c) + ab(a+b)}{abc} = 9$

$ac(a+c) + bc(b+c) + ab(a+b) = 9abc$

$a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b+ab^2 = 9abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) - 2abc = 9abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) = 11abc$

[Siren-Of-Step]

โทดทีครับ เปลี่ยนโจทย์เป็น

$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b})$

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

2. $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 4$
$\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = 5$

จงหา $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b})$
ถ้าผิดพลาดข้อไหนช่วยบอกทีงับ

ตอบ 19
วิธีทำ $(\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a})(\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}) = \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{ab}{c^2}+1+1+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+1+\dfrac{c^2}{ab}$

$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}) = 1+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{ca}{b^2}+1$

เพราะ $(\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a})(\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}) = 4*5 = 20$

ดังนั้น $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}) = 20-1 = 19$

ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ไม่ได้ไหม แต่ไม่น่าจะผิด

[Dark matter]

ข้อ3 ผมคิดได้4 อะครับ
(1!+2!+3!+4!+5!+....)= xxxxxxx3
(0!+1!+2!+3!+4!+5!+...)= xxxxxx4
(1!+3!+5!+...)= xxxxxxx7

(1!+2!+3!+...+100!)(0!+1!+2!+...+99!)(1!+3!+5!+...+97!) = xxxxxxxxxxx4


(1!+2!+3!+...+100!)(0!+1!+2!+...+99!)(1!+3!+5!+...+97!) หาร10 เหลือเศษ4

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

เห็นว่าช่วงนี้เบื่อ ๆ

3.จงหาเศษที่เกิดจากการนำ $(1!+2!+3!+...+100!)^{({0!+1!+2!+...+99!})^{({1!+3!+5!+...+97!})}}$ หารด้วย $10$

คุณ Darkmatter โจทย์มันเป็นยกกำลังซ้อนไม่ใช่หรือครับ
ของผมคิดได้ 1(ไม่รู้ถูกรึเปล่า)

$1!+2!+3!+...+100!$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $3$
เราหาว่า $3^{ขยุ้มนึง}$ หารด้วย $10$ เหลือเศษเท่าไหร่
ก็ พิจารณา $3^1$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $3$
$3^2$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $9$
$3^3$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $7$
$3^4$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $1$
.
.
.
เพราะฉะนั้น เราต้องดูว่า{ขยุ้มนึง} หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่
{ขยุ้มนึง}=${(0!+1!+2!+...+99!)}^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
$0!+1!+2!+...+99!$ หารด้วย $4$ เหลือ เศษ $0!+1!+2!+3!=10 \equiv 2$
จะได้ ว่า{ขยุ้มนึง} หารด้วย $4$ เหลือเศษ $2^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
$2^n$ จะหารด้วย $4$ ลงตัวเมื่อ $n\geqslant 2$(ในที่นี้พิจารราเมื่อ $n$ เป็นจน.เต็ม เพราะ อะไร! ก็ได้เป็นจน.เต็มอยู่แล้ว)
ดังนั้น $2^{(1!+3!+5!+...+97!)}$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $0$;
{ขยุ้มนึง} หารด้วย $4$ จึงเหลือเศษ $0$ เช่นกัน

ก้จะตรงกับเงื่อนไขด้านบน ($3^4$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $1$)
$\therefore $ตอบ เศษ 1

ผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ

[~ArT_Ty~]

ขอผมลงบ้างนะครับ

กำหนดลำดับเลขคณิต $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ ที่มีผลต่างร่วมเป็น $d$

จงหาค่าของ $\sum_{k= 1}^{n-1} \frac{1}{a_k\cdot a_{k+1}} $

[Dark matter]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

คุณ Darkmatter โจทย์มันเป็นยกกำลังซ้อนไม่ใช่หรือครับ
ของผมคิดได้ 1(ไม่รู้ถูกรึเปล่า)

$1!+2!+3!+...+100!$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $3$
เราหาว่า $3^{ขยุ้มนึง}$ หารด้วย $10$ เหลือเศษเท่าไหร่
ก็ พิจารณา $3^1$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $3$
$3^2$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $9$
$3^3$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $7$
$3^4$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $1$
.
.
.
เพราะฉะนั้น เราต้องดูว่า{ขยุ้มนึง} หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่
{ขยุ้มนึง}=${(0!+1!+2!+...+99!)}^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
$0!+1!+2!+...+99!$ หารด้วย $4$ เหลือ เศษ $0!+1!+2!+3!=10 \equiv 2$
จะได้ ว่า{ขยุ้มนึง} หารด้วย $4$ เหลือเศษ $2^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
$2^n$ จะหารด้วย $4$ ลงตัวเมื่อ $n\geqslant 2$(ในที่นี้พิจารราเมื่อ $n$ เป็นจน.เต็ม เพราะ อะไร! ก็ได้เป็นจน.เต็มอยู่แล้ว)
ดังนั้น $2^{(1!+3!+5!+...+97!)}$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $0$;
{ขยุ้มนึง} หารด้วย $4$ จึงเหลือเศษ $0$ เช่นกัน

ก้จะตรงกับเงื่อนไขด้านบน ($3^4$ หารด้วย $10$ เหลือเศษ $1$)
$\therefore $ตอบ เศษ 1

ผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ

ขอโทษครับ ดูผิด ขอบคุณที่มาแก้ให้ครับ

[กิตติ]

โจทย์ของน้องอาร์ทเหมือนโจทย์สอวน.ม.ปลายที่เพิ่งสอบกันนิครับ....รู้สึกว่าจะเป็นของมช. หรือสวนกุหลาบจำบ่ได้

[กิตติ]

$d\times\frac{1}{a_k a_{k+1}} = (\frac{1}{a_k} -\frac{1}{a_{k+1}} )$

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \times(\frac{1}{a_k} -\frac{1}{a_{k+1}} )$

$\sum_{k= 1}^{n-1} \frac{1}{a_k\cdot a_{k+1}} = \frac{1}{d} \times(\frac{1}{a_1} -\frac{1}{a_n})$

$= \frac{1}{d}\times(\frac{(n-1)d}{a_1\times (a_1+(n-1)d)})$

$=\frac{(n-1)}{a_1 \times a_n } $

ผมคิดออกมาได้เท่านี้ ไม่รู้ว่าถูกไหม