มาราธอนโจทย์เข้าเตรียมฯ2555กันครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

9.ระหว่าง $1001^{999}$ กับ $1000^{1000}$ จำนวนใดมีค่ามากกว่า

วิธีสำหรับคนรู้จักอสมการสำเร็จรูป

Weighted AM-GM

$\left( \dfrac{1}{1000}\right)\cdot1+\left(\dfrac{999}{1000}\right)\cdot1001>1^{\left(\dfrac{1}{1000}\right)}\cdot1001^{\left(\dfrac{999 }{1000}\right)}$

Bernoulli

$\left(1-\dfrac{1}{1001}\right)^{1000}>1-\left(\dfrac{1}{1001}\right)\cdot1000$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

วิธีสำหรับคนรู้จักอสมการสำเร็จรูป

Weighted AM-GM

$\left( \dfrac{1}{1000}\right)\cdot1+\left(\dfrac{999}{1000}\right)\cdot1001>1^{\left(\dfrac{1}{1000}\right)}\cdot1001^{\left(\dfrac{999 }{1000}\right)}$

Bernoulli

$\left(1-\dfrac{1}{1001}\right)^{1000}>1-\left(\dfrac{1}{1001}\right)\cdot1000$

ขอบคุณครับ ไม่ได้นึกถึงวิธีนั้เลย

[artty60]

อีกวิธีครับใช้แบบที่เรียนในม.ต้น
ทำเลขยกกำลังให้เท่ากันและการกระจายพหุนาม แล้วเปรียบเทียบ

$1001^{999}\times 1001=1001^{1000}$ เทียบกับ $1000^{1000}\times 1001$

$1001\times 1000^{1000} =1000^{1000}+1000^{1000}+...$ มี1001 พจน์
และ
$1001^{1000}=(1000+1)^{1000}$

$=\binom{1000}{1000}1000^{1000}+\binom{1000}{999}1000^{999}+\binom{1000}{998}1000^{998}+...+1$ มี 1001 พจน์ เช่นกัน

เปรียบเทียบพจน์ต่อพจน์แล้ว เห็นว่า $1001\times 1000^{1000}>1001^{1000}$

เพราะฉะนั้น $1000^{1000}>1001^{999}$ ครับ

[artty60]

11.ให้A เป็นจำนวนที่มี 666 หลัก แต่ละหลักคือ 6
B เป็นจำนวนที่มี 666 หลักเช่นกัน แต่ละหลักคือ 3
จงหาจำนวนหลักของ $A\times B$

วิธีคิดอีกแบบครับ

$A=.66...\times 10^{666}=\frac{6}{9}\times 10^{666}$

$ B = .33...\times 10^{666}=\frac{3}{9}\times 10^{666} $

ดังนั้น $A\times B=\frac{6}{9}\times \frac{3}{9}\times 10^{666}\times 10^{666}$

$A\times B=\frac{2}{9}\times 10^{1332}$

เพราะฉะนั้น ผลคูณของA,B จะเป็นจำนวนที่มี $1332$ หลัก ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

วิธีสำหรับคนรู้จักอสมการสำเร็จรูป

Weighted AM-GM

$\left( \dfrac{1}{1000}\right)\cdot1+\left(\dfrac{999}{1000}\right)\cdot1001>1^{\left(\dfrac{1}{1000}\right)}\cdot1001^{\left(\dfrac{999 }{1000}\right)}$

Bernoulli

$\left(1-\dfrac{1}{1001}\right)^{1000}>1-\left(\dfrac{1}{1001}\right)\cdot1000$

คาราวะ 10 จอกครับ งดงามมาก

ข้อ 7

$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C \ = \sin 2A+\sin 2B-\sin (2A+2B)$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2 \sin(A+B)\cos(A-B)-2\sin(A+B)\cos(A+B)$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\sin(A+B)\left(\,\cos(A-B)-\cos(A+B)\right)$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4\sin(A+B) \sin(-B)\sin A$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4 \sin A \sin B \sin C$

[tonklaZolo]

อยากเทพอย่างพี่จัง....ชาติหน้าตอนบ่ายๆละกัน

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ดังนี้ครับ

Induction let $ n \in \mathbb{N}$

$\because (n+1)^2 = n(n+2)+1$

$(n+1)^2 > n(n+2)$

$2log(n+1)>logn(n+2)$
$2nlog(n+1)>nlogn(n+2)$

$(n-1)log(n+1)+(n+1)log(n+1) > nlogn+nlog(n+2)$

$\therefore (n+1)log(n+1)-nlog(n+2)>nlogn-(n-1)log(n+1)$


let $P(n)$ แทน $n^n>(n+1)^{n-1}$
P(2) is true; $2^2>3^1$

if P(n) is true then $n^n>(n+1)^{n-1}$
$nlogn>(n-1)log(n+1)$
$nlogn-(n-1)log(n+1)>0$

but $(n+1)log(n+1)-nlog(n+2)>nlogn-(n-1)log(n+1)>0$
$(n+1)log(n+1)>nlog(n+2)$
$(n+1)^{n+1}>(n+2)^n$

that is P(n+1) is also true
P(n) is true for all n > 1

$1000^{1000}>1001^{999}$

พี่ครับ log นี่มีเรียน ม.อะไรอ่ะครับ ดูยากจัง

[BLACK-Dragon]

6.(Tricky Problem)

Hint

$2\sqrt{k} < \sqrt{k}+\sqrt{k+1} < 2\sqrt{k+1}$

C l i c k

$\dfrac{1}{2\sqrt{k}} < \sqrt{k+1}-\sqrt{k} < \dfrac{1}{2\sqrt{k+1}}$

10.

$\cos 36^\circ-\cos 72^\circ = 2\sin (-18^\circ)\sin 54^\circ$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2\sin 18^\circ\cos 36^\circ$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{-4\sin 18^\circ\cos 18^\circ\cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{-\sin 72^\circ}{ 2\cos 18^\circ}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -\dfrac{1}{2}$

[polsk133]

ผมว่ายากไปนะ แต่ไม่แน่เพราะปีที่แล้วก็ยากกว่าปกติ

ปล. log เรียน ม.5เทอม1 ครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

6.(Tricky Problem)

Hint

$2\sqrt{k} < \sqrt{k}+\sqrt{k+1} < 2\sqrt{k+1}$

C l i c k

$\dfrac{1}{2\sqrt{k}} < \sqrt{k+1}-\sqrt{k} < \dfrac{1}{2\sqrt{k+1}}$

10.

$\cos 36^\circ-\cos 72^\circ = 2\sin (-18^\circ)\sin 54^\circ$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2\sin 18^\circ\cos 36^\circ$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{-4\sin 18^\circ\cos 18^\circ\cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{-\sin 72^\circ}{ 2\cos 18^\circ}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -\dfrac{1}{2}$

ข้อ10 ผมว่า มันไม่น่าเป็นลบนะครับ จาก $\cos 0^\circ > \cos 90^\circ$
เครื่องหมายน่าจะผิดนิดนึงนะครับ
$\cos A - \cos B \ = \ -2\sin (\frac{A+B}{2})\sin (\frac{A-B}{2}) $

[jameszealous]

ข้อ 1 ใช้การดริฟต์ หรือจัดพจน์เอาพจน์แรกบวกกับพจน์สุดท้ายทำคล้ายๆวิธีเกาส์ก็น่าจะออกครับ

[ไม่เก่งครับ]

ข้อ 6 ตอบ 197 ปะครับ ไม่ค่อยแน่ใจ

[ShaDoW MaTH]

ขอแนวการคิดข้อแรกหน่อยครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

ขอแนวการคิดข้อแรกหน่อยครับ

$= n[\frac{(n-1)!}{0!(n-1)!}+\frac{(n-1)!}{1!(n-2)!}+\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}+...+\frac{(n-1)!}{(n-1)!0!}]$
$=n\times 2^{n-1}$

[tonklaZolo]

$(x+y)^n=\binom{n}{n}x^n+\binom{n}{n-1}x^{n-1}y+\binom{n}{n-2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{1}xy^{n-1}+\binom{n}{0}y^n$

แทน x,y = 1
จะได้

$2^n=\binom{n}{n}+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n-2}+...+\binom{n}{2}+\binom{n}{1}+\binom{n}{0}$