TME2

[Euler-Fermat]

ถ้า $a,b,x,y$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x+y=a+b=6\sqrt{2} $ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ
$\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} $

ผมคิดโดยใช้ Power Mean Inequality ครับ
เนื่องจาก 2<1
$\frac{\sqrt{\frac{x^2+a^2}{2} }} \geqslant \frac{x+a}{2} $
ส่วนของ $\sqrt{y^2+b^2}$ ทำในทำนองเดียวกัน จะได้
$\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} \geqslant 12 $
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} = 12 $

[artty60]

แนวคิดข้อนี้ตามรูป $CE=\sqrt{x^2+a^2}$ และ $AE=\sqrt{y^2+b^2}$

เท่ากับระยะ $C'E+AE$ ซึ่งน้อยที่สุด

[artty60]

เอ้า ซ้ำกับ#54 ขอโทษครับไม่ทันดู

[polsk133]

ช่วยตอบผมที #75 นะครับ

[Thgx0312555]

ให้จุดกึ่งกลาง $BC = H$
ลาก $FH, GH$
เห็นได้ชัดว่า $EF = FH = HG = GE$

ดังนั้นสี่เหลี่ยม $ EFGH$ เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือ จัตุรัส

$\because \Delta FGC \cong \Delta FGD$
$\therefore F\widehat{G}D = 90^\circ$

ในทำนองเดียวกัน $E\widehat{H}B = 90^\circ$

(ฉ.ด.ด.) $\Delta FGD \cong \Delta EHB$
$EH = FG$
ดังนั้น เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยม $EFGH$ เท่า

$EFGH$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

จึงได้ผลตามที่ถามครับ

----------------
#81 เขียนผิดครับ

[polsk133]

EH=FC
น่าจะเป็น FGแทน

ที่เหลือก็ถูกหมดแล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[lookket]

อันนี้ของ รอบแรกหรือรอบสองคะ

[polsk133]

มีรอบเดียวหนิครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ถ้า $a,b,x,y$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x+y=a+b=6\sqrt{2} $ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ
$\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} $

ผมคิดโดยใช้ Power Mean Inequality ครับ
เนื่องจาก 2<1
$\frac{\sqrt{\frac{x^2+a^2}{2} }} \geqslant \frac{x+a}{2} $
ส่วนของ $\sqrt{y^2+b^2}$ ทำในทำนองเดียวกัน จะได้
$\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} \geqslant 12 $
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} = 12 $

ใช้ Minkowski ก็ได้ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ถ้า $a,b,x,y$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x+y=a+b=6\sqrt{2} $ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ
$\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} $

ผมคิดโดยใช้ Power Mean Inequality ครับ
เนื่องจาก 2<1
$\frac{\sqrt{\frac{x^2+a^2}{2} }} \geqslant \frac{x+a}{2} $
ส่วนของ $\sqrt{y^2+b^2}$ ทำในทำนองเดียวกัน จะได้
$\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} \geqslant 12 $
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{y^2+b^2} = 12 $

เสนอให้อีกวิธีแบบ ม.ต้น ใช้ พีธากอรัส ก็ได้ครับ โจทย์ลักษณะนี้นิยมออกบ่อยเหมือนกัน