โจทย์เก่า สพฐ.2551

[Dr.K]

สูตร อะไร ครับ ข้อ28 ที่บอกว่า 2S =.....
และข้อ 30 ตรง บรรทัด 3 ของ แนวคิด ขวาสุด ที่มี บวก \frac{1}{2\sqrt{1000000}

รบกวน อธิบาย ครับ

[Onasdi]

(x+1)...(x-90) เป็นพหุนามดีกรี 90 ครับ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x^{88}$ คือ $\displaystyle{\sum_{i<j}{r_ir_j}}$ โดยที่รากของพหุนามดังกล่าวคือ $r_1,\dots,r_{90}$

เราใช้สมการ $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac{1}{2\sqrt{n}}$ สำหรับ n=1,2,3,...,99 แต่ไม่ได้ใช้กับเทอมสุดท้ายครับ เพราะเทอมสุดท้ายคือ $\frac{1}{2\sqrt{1000000}}$ ซึ่งหาค่าได้ไม่ยาก

[Dr.K]

หมายความว่า จำเพิ่มอีกสูตรนึงไปเลย ว่า "Sigma ของ ผลคูณ สองค่า ใดๆ จะเท่ากับ สูตรที่เฉลยมา " ?

[gon]

ข้อ 28. นั้นใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ไงครับ

$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $

$\Rightarrow 2ab = (a+b)^2-(a^2+b^2)$

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab +bc + ca) $

$\Rightarrow 2(ab + bc + ca) = (a+b +c)^2-(a^2+b^2+c^2)$
...
$(x_1+x_2+...+x_n)^2 = (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2) + 2(x_1x_2+...x_{n-1}x_n) $

$\Rightarrow 2(x_1x_2+...x_{n-1}x_n) = (x_1+x_2+...+x_n)^2 - (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)$

สำหรับในข้อนี้นั้นก็คือ

$(1 + 2 + (-3) + (4) + (5) + (-6) + ... )^2 = ((1)^2+(2)^2+(-3)^2+...) + 2S$

[Onasdi]

ไม่แน่ใจว่าจะตอบตรงคำถามรึเปล่านะครับ
$(r_1+r_2+\dots+r_{90})^2=(r_1+r_2+\dots+r_{90})(r_1+r_2+\dots+r_{90})$
$=r_1(r_1+r_2+\dots+r_{90})+r_2(r_1+r_2+\dots+r_{90})+\dots+r_{90}(r_1+r_2+\dots+r_{90})$
$=(r_1^2+r_2^2+\dots+r_{90}^2)+2\displaystyle{\sum_{i<j}{r_ir_j}}$
$=(r_1^2+r_2^2+\dots+r_{90}^2)+2S$

[Dr.K]

ขอบคุณมากครับ สำหรับคำอธิบาย
ถ้าจะขออนุญาตเลยเถิดไป กรณี ถามหา สัมประสิทธิ์ ของ $ X^{87}$ บ้างหละครับ

มันคือ $\sum\ r_i r_j r_k$ ใช้ Hint อะไรช่วยได้ครับ

เกินหลักสูตร ไป เยอะหรือเปล่าครับ
ส่วนข้อ 30 นี่ ต้องใช้ความรู้ บท อสมการ ก่อน กระมังครับ (แนวโจทย์ ประเภทนี้ ตามไปหาที่ไหนได้อีกครับ)

[Onasdi]

อยากจะหา $\sum\ r_i r_j r_k$ ก็ต้องหาความสัมพันธ์ของมันกับสิ่งที่เรารู้ค่า ลองพิจารณา $(r_1+\dots+r_{90})\left(\sum\ r_i r_j\right)$ ดูครับ

ข้อ 30 ไม่ต้องใช้ความรู้อะไรครับ ไม่เข้าใจบรรทัดไหนครับ

[คนมันห่วย]