ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ 2013

[tonklaZolo]

Algebra
1. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $r$ เป็นจำนวนจริง จงหาคู่อันดับ $(n,r)$ ทั้งหมดที่ทำให้พหุนาม $(x-1)^n-r$ หารด้วย พหุนาม $2x^2-2x+1$ ลงตัว
2. จงแสดงว่าไม่มีเซตจำกัด $M \subset \mathbb{R} -\left\{\,0\right\} $ ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ พหุนามดีกรีมากกว่า $n$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นสมาชิกของ $M$ มีรากทุกตัวเป็นสมาชิกของ $M$
-----------------------------------------------------------------------------------------
Number Theory
1. จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ $1971\mid 50^n+a\cdot 23^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่
2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เลขสามหลักท้ายของ $3^n$ คือ $003$
-----------------------------------------------------------------------------------------
Inequality
1. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{\sqrt[3]{a+\frac{1}{c}+\frac{1}{3}}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+\frac{1}{a}+\frac{1}{3}}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+\frac{1}{b}+\frac{1}{3}}}>\sqrt[3]{3}$$
2. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $3xyz(x+y+z)=1$ จงหาค่ามากที่สุดของ $x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$ พร้อมระบุค่าของ $x,y,z$ ที่ทำให้เกิดค่ามากที่สุด
-----------------------------------------------------------------------------------------
Combinatoric
1. พิจารณาจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน $7$ จำนวน และมีค่าไม่เกิน $1706$ จงพิสูจน์ว่า มี $a,b,c$ ใน $7$ จำนวนนี้ที่สอดคล้องกับ $a<b+c<4a$
2. ในเดือนมีนาคม 2556 ที่ผ่านมา บริษัทแห่งหนึ่งขายเครื่องคอมพิวเตอร์ได้ $100$ เครื่อง เป็นเครื่องที่มีจอสี $50$ เครื่อง เป็นเครื่องที่มีฮาร์ดดิสก์ $50$ เครื่อง และขายเครื่องพร้อมเครื่องพิมพ์ $30$ เครื่อง ในจำนวนนี้มีอยู่ $5$ ชุดที่มีทั้งจอสี ฮาร์ดดิสก์และเครื่องพิมพ์ อยากทราบว่า บริษัทนี้ขายเครื่องไปอย่างน้อยกี่เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่ฮาร์ดดิสก์และไม่มีเครื่องพิมพ์
-----------------------------------------------------------------------------------------
Functional Equation
1. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1$ สำหรับทุกๆ $x,y \in \mathbb{R}$
2. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ สำหรับทุกๆ $x,y \in \mathbb{R}$
-----------------------------------------------
Geometry
1. ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลากเส้นตรงผ่านจุด $A$ มาตัดกับส่วนต่อขยายด้าน $CB$ และ ส่วนต่อขยายด้าน $CD$ ที่จุด $E$ และ $F$ ตามลำดับ
จงแสดงว่า $CB\cdot CE+CD\cdot CF=AC^2+AE\cdot AF$
2. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลมตัดกับด้าน $BC$ ที่จุด $A_1,A_2$ ตัดด้าน $CA$ ที่จุด $B_1,B_2$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $C_1,C_2$ ถ้า $B_1C_1$ และ $B_2,C_2$ ตัดกันที่จุด $X$,
ถ้า $C_1A_1$ และ $C_2,A_2$ ตัดกันที่จุด $Y$และ $A_1B_1$ และ $A_2,B_2$ ตัดกันที่จุด $Z$ จงแสดงว่า $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียวกัน

[polsk133]

hint NT 2

1971=27x73

27=50-23
73=50+23

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

geo,function หายไปไหนอ่ะครับ หรือยังไม่ได้สอบครับ แต่ขอบคุณมากๆครับ

ผมอยากโหด คอมบิ+เรขาอ่ะ ทำไม่ค่อยได้สักที

ขอ hint combi ทั้งสองข้อหน่อยครับ

[polsk133]

IE2

โดยโคชี่

$\sqrt x(\sqrt{xyz})+\sqrt y(\sqrt{xyz})+\sqrt z(\sqrt{xyz})\leqslant \sqrt{x+y+z}\sqrt{3xyz}=1$

เป็นสมการเมื่อ $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[polsk133]

คอมบิข้อ1ทำแบบนี้ได้ไหมครับ

โดยไม่เสียนัยให้7จำนวนที่เลือกมาคือ $x_1<x_2<x_3<...<x_7$

เลือก $a=x_1$ และ b=$x_2$ และ $c=x_7$

เห็นได้ชัดว่า $a<b+c $

พิจารณา $x_2<x_7 $

จะได้ $x_2<3x_7$

ดังนั้น $x_2+x_3<4x_7$

จึงได้ว่ามี $a,b,c$ ที่ $a<b+c<4c$

[coke]

คอมบิรู้สึกอาจารย์จะพิมพ์โจทย์ผิดทั้งสองข้อ ข้อแรกจาก<4cเป็น<4a
ส่วนGE,FEยังไม่สอบครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ coke

คอมบิรู้สึกอาจารย์จะพิมพ์โจทย์ผิดทั้งสองข้อ ข้อแรกจาก<4cเป็น<4a
ส่วนGE,FEยังไม่สอบครับ

ขอบคุณมากครับ คุณ coke kaze

[Mol3ius]

IE1

ง่ายมากครับ
ถ้า $abc = 1$ ได้ว่า $\sum\frac{a}{a+ab+1} = 1 $
จัดรูปสมการเป็น $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{3a+3ab+1} } > 1 $ แล้วใช้ Weighted AM-GM กับส่วนด้านล่าง

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

hint NT :2

$3^n\equiv \binom{10}{2} 7^{n-2}(10^2)+\binom{10}{1}7^{n-1}(10)+ \binom{10}{0}7^n(mod1000)$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ coke

คอมบิรู้สึกอาจารย์จะพิมพ์โจทย์ผิดทั้งสองข้อ ข้อแรกจาก<4cเป็น<4a
ส่วนGE,FEยังไม่สอบครับ

นี่ข้อสอบศูนย์ MWITs เหรอครับ??

[funandmun]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

นี่ข้อสอบศูนย์ MWITs เหรอครับ??

ใช่ครับ คุณ ~ArT_Ty~
ปล.ยินดีกับคุณcoke ด้วยนะครับ ได้เป็นตทศ.แล้ว

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ funandmun

ใช่ครับ คุณ ~ArT_Ty~
ปล.ยินดีกับคุณcoke ด้วยนะครับ ได้เป็นตทศ.แล้ว

ดีใจด้วยครับ ว่าแต่ไม่มีโจทย์วิชาอื่นเหรอครับ??

[funandmun]

GEOMETRY
[GE1] ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลากเส้นตรงผ่านจุด $A$ มาตัดกับส่วนต่อขยายด้าน $CB$ และส่วนต่อขยายด้าน $CD$ ที่จุด $E$ และ $F$ ตามลำดับ จงแสดงว่า
$CB\cdot CE + CD\cdot CF = AC^2 + AE \cdot AF$
[GE2]ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลมตัดกับด้าน $BC$ ที่จุด $A1,A2$ ตัดด้าน $CA$ ที่จุด $B1,B2$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $C1,C2$ ถ้า $B1C1$ และ $B2C2$ ตัดกันที่จุด $X$ $A1C1$ และ $A2C2$ ตัดกันที่จุด $Y$ $B1A1$ และ $B2A2$ ตัดกันที่จุด $Z$ จงแสดงว่า $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียวกัน

[~ArT_Ty~]

GE2 วงกลมที่ตัดเป็นวงกลมเดียวกันหมดใช่มั้ยครับ

และจุดพวก $A_{1},A_{2}$ พวกนี้อ่ะครับ มันเรียงตำแหน่งยังไงบนด้าน??

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ให้ $A_1$ อยู่ใกล้ B นะครับแล้วก็วนทวนเข็มเป็น $A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ แบบนี้ครับ(ถ้าใช่นะ) Ceva สามครั้งครับ