ใครบ้างรู้จักวิธีพิสูจน์ Diophantine ของ Ramanujan นี้บ้าง

[Soopreecha]

n!+1=m square2

[owlpenguin]

ข้อนี้ยังเป็น open problem ไม่ใช่เหรอครับ? $n!+1=m^2$ น่ะครับ
มีคำตอบคือ $(n,m)=(4,5),(5,11),(7,71)$ แต่ยังไม่รู้ว่ามีคำตอบอีกหรือไม่

[Soopreecha]

ขอบคุณมากครับพี่

m=a^3+b^3=c^3+d^3 จงพิสูจน์ว่า m น้อยที่สุดคือ 1729 ล่ะครับ

[nongtum]

#3
แล้วมีการจำกัดเงื่อนไขของ a,b,c,d หรือเปล่าครับ
ถ้าจำกัดว่าทั้งสี่ตัวเป็นจำนวนนับ ก็ใช้ความถึกเข้าลุยแจงง่ายๆได้อยู่ แต่ถ้าขยายเงื่อนไข หากไม่เจอตัวอย่างค้าน ก็คงยากมากมายล่ะครับ

[Soopreecha]

ขอบคุณมากครับพี่

[Soopreecha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#3
แล้วมีการจำกัดเงื่อนไขของ a,b,c,d หรือเปล่าครับ
ถ้าจำกัดว่าทั้งสี่ตัวเป็นจำนวนนับ ก็ใช้ความถึกเข้าลุยแจงง่ายๆได้อยู่ แต่ถ้าขยายเงื่อนไข หากไม่เจอตัวอย่างค้าน ก็คงยากมากมายล่ะครับ

ผมรองทำได้
$1725=1^3+12^3=9^3+10^3$
และยังได้ $1^3+6^3+8^3=9^3$ ครับ

ช่วยดูให้หน่อยครับ
$a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$ ยังไม่สำเร็จ
ได้ $[(s-t)^4+(k+l)^4]^2=[s^2+t^2]^4+[k^2-l^2]^4+[(s+t)(k+l)]^4+[(s-t)(k-l)]^4$

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Soopreecha

ผมรองทำได้
$\color{red}{1725=}1^3+12^3=9^3+10^3$
และยังได้ $1^3+6^3+8^3=9^3$ ครับ

ช่วยดูให้หน่อยครับ
$a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$ ยังไม่สำเร็จ
ได้ $[(s-t)^4+(k+l)^4]^2=[s^2+t^2]^4+[k^2-l^2]^4+[(s+t)(k+l)]^4+[(s-t)(k-l)]^4$

ที่เป็นตัวแดงๆนั่นยังไม่้ถูกนะครับ ส่วนอีกอันผมยังไม่ได้ดู แต่แอบนึกนิดๆว่าคงจะไม่ง่ายนักครับ

[Soopreecha]

โทษทีครับ $1729=1^3+12^3=9^3+10^3 $

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Soopreecha

$a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$
ได้ $[(s-t)^4+(k+l)^4]^2=[s^2-t^2]^4+[k^2-l^2]^4+[(s+t)(k+l)]^4+[(s-t)(k-l)]^4$

คิดจาก
$[(a^2+b^2)(c^2+d^2)]^2=[(ad)^2-(bd)^2]^2+[(ad)^2-(bc)^2]^2+[(ac+bd)(ad+bc)]^2+[(ad-bc)(ac-bd)]^2$ ครับ

เริ่ม $ (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (a^2c^2+2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
และ $ (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (a^2c^2-2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$
คูณกัน

[Soopreecha]

$1^3+6^3+8^3=9^3$
และผมยังพบว่า
$9^3=1^3+6^3+8^3=1^3+2^3(3^3+4^3)$

[Soopreecha]

$[(k^2+l^2)(s^2+t^2)]^2=[(k^2-l^2)(s^2-t^2)+4klst]^2+[2st(k^2-l^2)-2kl(s^2-t^2)]^2$

[Soopreecha]

ทฤษฏีบท
ถ้า $$\alpha ^2+\alpha \beta +\beta ^2=3\lambda \gamma ^2$$
แล้ว $$(\alpha +\lambda ^2\gamma )^3+(\lambda \beta +\gamma )^3=(\lambda \alpha +\gamma )^3+(\beta +\lambda ^2\gamma )^3$$