เรื่องเกี่ยวกับ Graph และ Calculus

[Adapt]

ตอนนี้เอมเรียนอยู่ที่โรงเรียนมหิดลวิทย์ค่ะ
เรื่อง Graph เอมเอาไปคิดต่อจากค่ายที่อุบล
ได้ผลเป็นอย่างนี้........
[Original Message] ที่เคยส่งไป >>>
เรื่องนี้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของเส้นตรงที่ทำให้เกิดส่วนโค้ง
(ได้แนวคิดมาจากรูป 2 มิติบนหน้าปกหนังสือเลข ม.3 เล่มหนึ่ง
เป็นส่วนโค้งที่สร้างขึ้นมาจากเส้นตรง
เอมสนใจ ลองไปถามอาจารย์คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนแล้ว
เค้าบอกว่ามันเป็นเพียงศิลปะของการ
ใช้เส้นแต่สนใจก็เลยลองคิดๆดูค่ะ)

จากรูปที่เห็น นำมา Plot กราฟ ด้วยวิธีต่อไปนี้
ใช้ระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน ขั้นแรกสนใจที่ควอดรันต์ที่ 1 คือ (+,+)
จากนั้นลองลากเส้นต่อไปนี้

เส้นตรงที่ 1 ผ่านพิกัด(1,0)และ(0,10)
เส้นตรงที่ 2 ผ่านพิกัด(2,0)และ(0,9)
เส้นตรงที่ 3 ผ่านพิกัด(3,0)และ(0,8)
เส้นตรงที่ 4 ผ่านพิกัด(4,0)และ(0,7)
เส้นตรงที่ 5 ผ่านพิกัด(5,0)และ(0,6)
เส้นตรงที่ 6 ผ่านพิกัด(6,0)และ(0,5)
เส้นตรงที่ 7 ผ่านพิกัด(7,0)และ(0,4)
เส้นตรงที่ 8 ผ่านพิกัด(8,0)และ(0,3)
เส้นตรงที่ 9 ผ่านพิกัด(9,0)และ(0,2)
เส้นตรงที่ 10 ผ่านพิกัด(10,0)และ(0,1)

จะได้ว่า

สมการของเส้นตรงที่ 1 คือ x+10y-10=0
สมการของเส้นตรงที่ 2 คือ 2x+9y-18=0
สมการของเส้นตรงที่ 3 คือ 3x+8y-24=0
สมการของเส้นตรงที่ 4 คือ 4x+7y-28=0
สมการของเส้นตรงที่ 5 คือ 5x+6y-30=0
สมการของเส้นตรงที่ 6 คือ 6x+5y-30=0
สมการของเส้นตรงที่ 7 คือ 7x+4y-28=0
สมการของเส้นตรงที่ 8 คือ 8x+3y-24=0
สมการของเส้นตรงที่ 9 คือ 9x+2y-18=0
สมการของเส้นตรงที่ 10 คือ 10x+y-10=0

ถ้ามองแล้วจะเห็นเป็นส่วนโค้งเกิดขึ้น (สงสัยว่าเกิดขึ้นได้อย่างไร)
จึงได้ทดลองเปลี่ยนช่วงบนแกน x และ แกน y ไปเช่น

เส้นตรงที่ 1 ผ่านพิกัด(20,0)และ(0,3)
เส้นตรงที่ 2 ผ่านพิกัด(18,0)และ(0,6)
เส้นตรงที่ 3 ผ่านพิกัด(16,0)และ(0,9)
เส้นตรงที่ 4 ผ่านพิกัด(14,0)และ(0,12)
เส้นตรงที่ 5 ผ่านพิกัด(12,0)และ(0,15)
เส้นตรงที่ 6 ผ่านพิกัด(10,0)และ(0,18)
เส้นตรงที่ 7 ผ่านพิกัด(8,0)และ(0,21)
เส้นตรงที่ 8 ผ่านพิกัด(6,0)และ(0,24)
เส้นตรงที่ 9 ผ่านพิกัด(4,0)และ(0,27)
เส้นตรงที่ 10 ผ่านพิกัด(2,0)และ(0,30)

จะได้ว่า

สมการของเส้นตรงที่ 1 คือ 20x+3y-60=0
สมการของเส้นตรงที่ 2 คือ 18x+6y-108=0
สมการของเส้นตรงที่ 3 คือ 16x+9y-144=0
สมการของเส้นตรงที่ 4 คือ 14x+12y-168=0
สมการของเส้นตรงที่ 5 คือ 12x+15y-180=0
สมการของเส้นตรงที่ 6 คือ 10x+18y-180=0
สมการของเส้นตรงที่ 7 คือ 8x+21y-168=0
สมการของเส้นตรงที่ 8 คือ 6x+24y-144=0
สมการของเส้นตรงที่ 9 คือ 4x+27y-108=0
สมการของเส้นตรงที่ 10 คือ 2x+30y-60=0

ก็ได้ส่วนโค้งที่แตกต่างกัน เอมลองสังเกตหลายๆอย่างแล้ว
สรุปความสัมพันธ์ออกมาได้ดังนี้ค่ะ

1.พบว่าเส้นตรงที่เกิดขึ้นมีความสัมพันธ์กันในตัวสมการเองนั้นคือ
ถ้าให้ k แทนการแบ่งช่วงบนแกน x
ให้ m แทนการแบ่งช่วงบนแกน y
ให้ (0,p)แทนจุดตัดของส่วนโค้งที่เกิดขึ้นบนแกน y
ให้ (q,0)แทนจุดตัดของส่วนโค้งที่เกิดขึ้นบนแกน x
ให้ a,b และ c เป็นค่าคงตัว
ให้ x,y เป็นตัวแปร
เอมพบว่า

ax+by+c = 0
(a*b)= -c
ma + kb = pm
ma + kb = qk
ดังนั้น ma+kb = pm = qk

* สรุปได้ตอนนี้(นั้น)ว่า *
1.ส่วนโค้งที่เกิดขึ้น ได้มาจากจุดตัดของเส้นตรงในที่มีความสัมพันธ์กัน
(และสนใจเฉพาะในควอดรันต์ที่ 1)

2.จุดตัดของเส้นตรงที่ทำให้เกิดส่วนโค้งคือจุดตัดนอกสุด

3.ถ้าสร้าง Scale บนแกนให้ห่างขึ้น (เหมือนกับการ Zoom)เห็นได้ว่า
แท้จริงแล้วจุดตัดเหล่านี้เป็นรูปหลายเหลี่ยม ที่มีขนาดของมุมเท่ากันทุกมุม
ถ้า Zoom out ก็จะเห็นเป็นส่วนโค้ง เป็นวิธีการเดียวกันกับที่มองเห็นหน้า
ปกหนังสือเล่มนั้นเป็นส่วนโค้งขึ้นได้

4.จากการสังเกต พบว่าลักษณะของส่วนโค้งที่เกิดขึ้นนั้น ถูกกำหนดโดยจุด
ตัดบนแกน x และ แกน y

5.อย่างไรก็ตามเอมคิดว่า สามารถทำให้เป็นส่วนโค้งที่แท้จริงได้ ถ้าใช้สมการ
ที่เกิดจากจำนวนจริงทั้งหมด

* ปัญหาคือ *
1.ถ้าต้องการหาส่วนโค้งที่แท้จริง จะหาสมการที่มีค่า A B และ C เป็นจำนวน
จริงทั้งหมดได้อย่างไร
[End Of Original Message]

จากที่เอาไปดูต่อ แล้วลองอ่านเรื่อง Calculus (ที่พี่ไก่บอกว่าเกี่ยว)
น่าสนใจมาก ปรากฏว่ามันเป็นปัญหาเดียวกับที่มาของ Calculus
ที่เกิดจากปัญหาทางเรขาคณิตสองอย่าง คือ
ปัญหาการหาเส้นสัมผัสส่วนโค้งและการหาพื้นที่ในแนวระนาบ
กราฟที่เกิดขึ้น เอมพบว่าปัญหาเรื่อง RealNumber
ที่เอมต้องการใส่ลงไปเพื่อทำให้ส่วนโค้ง Smooth
แต่ไม่สามารถทำได้เพราะเป็นค่าอนันต์
น่าจะเกี่ยวข้องกับแนวคิดของนิวตันเรื่อง Limit
อีกเรื่องหนึ่ง อ่านต่อไปในเรื่องอนุพันธ์
พบว่าการหาความชันของเส้นโค้งก็เกี่ยวข้องกับเส้นสัมผัสนั่นเอง
และการเขียนกราฟของเอมนั่น มันเป็นเส้นสัมผัสส่วนโค้ง
แล้วก็การทำให้เส้นสัมผัสส่วนโค้งกลายเป็นเส้นโค้ง
มันก็คือการ Integrate นั่นเอง! -_-zZ

อ่านต่อไป ก็พบว่า ขณะนี้ Proof ได้แล้วว่าไม่ใช่ส่วนหนึ่งของวงกลมค่ะ
ซึ่งก็มีเหตุผลมาอ้างอิงสองอย่าง
คือแบบง่ายๆ กับแบบยากๆที่อธิบายอย่างอื่นได้ต่อ
เหตุผลข้อที่ 1 ตามที่พี่สุรัชน์แนะนำให้หาจุดศูนย์กลางวงกลม
แล้วลากรัศมีดูว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไรบ้างนั้น
พิสูจน์แล้วด้วยวงเวียนว่ามันไม่ได้ค่ะ

เหตุผลข้อที่ 2 คือ กราฟที่เกิดขึ้นเป็น สมการเชิงอนุพันธ์
ที่เรียกว่า Envelope (ซึ่งหมายถึง เส้นโค้งคงที่เส้นหนึ่ง
ซึ่งสัมผัวกับชุดของเส้นโค้งชุดหนึ่ง)
จากการลากเส้นดังที่ด้านบน นั่นคือ Envelope ของเส้นตรงที่มีสมการเป็น x/a +
y/(c-a) = 1

หมายถึงว่า
ถ้าเส้นตรงที่มีส่วนตัดแกน x เป็น c ได้สมการของชุดเส้นตรงเป็น x/a + y/(c-a) = 1
........(1)
หรือ kx - cy + cy = ck - c^2

หาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ c จะได้ -x + y = k - 2c
หรือ c = (x - y + k)/2

แทนค่า c ใน (1) จะได้ x^2 - 2xy + y^2 - 2kx - 2ky + k^2 = 0
หรือ (x + y - k)^2 = 4xy
หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2
และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2

ซึ่งเป็นกราฟของพาราโบลา เพราะ B^2 - 4AC = 0
และไม่สามารถแยก factor ที่มี Degree หนึ่งได้
ดังนั้น Envelope ที่ต้องการคือ หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2
และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2

ขณะนี้สามารถ Proof ได้ เฉพาะ การแบ่งช่วงบนแกน x และ แกน y ที่เท่ากัน
ตอนนี้เอมกำลังหาทางใช้วิธีนี้กับกราฟที่เกิดจากการแบ่งช่วงไม่เท่ากันอยู่ค่ะ

และเอมคิดว่าบางทีอาจมีวิธีประยุกต์ที่ไม่ต้องใช้ความรู้เรื่องนี้
หรือวิธีอื่นๆที่ทำให้
เราสามารถหาสมการส่วนโค้งในกรณีนี้
โดยการหาความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งที่เอมพิสูจน์ได้
(ma + kb = qk = pm) แล้วใช้หลักการเรื่อง Envelope เพื่อหาพาราโบาที่ได้ก่อน
จากนั้นก็หาความสัมพันธ์ระหว่าง ma + kb = qk = pm กับ สมการพาราโบลา
(หรือ)Conicsนั้นๆที่หาได้ เราก็จะได้สมการของเส้นโค้งนั้นทันที
และบางทีอาจพบความสัมพันธ์อื่นๆที่ไม่ต้องพึ่งพาการหาอนุพันธ์ค่ะ


อยากถามว่าเป็นไปได้บ้างมั้ย และ ใครมี Idea อื่นๆบ้าง Comment ได้นะคะ

[TOP]

ปัญหาที่ว่ามา แก้ด้วยการทำสเกลบนแกน x และ y ใหม่ ก็ใช้ได้แล้วครับ
สมมติเริ่มต้น เราพิจารณาเส้นโค้งที่เกิดจากเส้นตรง ที่มีระยะตัดแกน x และ แกน y มากสุดเป็น 1 โดยมีสเกลเท่ากัน
เราพบแนว Locus เป็น ึx + ึy = 1
เมื่อเราเปลี่ยนสเกลในแกน x ให้มีระยะตัดแกน x มากสุดเป็น p และ ระยะตัดแกน y มากสุดเป็น q
เราจะพบแนว Locus ใหม่เป็น ึx/p + ึy/q = 1

สำหรับวิธีแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่ง ที่ไม่ต้องใช้วิธีการหาอนุพันธ์
สมมติเรา ต้องการหา เส้นโค้งที่เกิดจากเส้นตรง ที่มีระยะตัดแกน x และ แกน y มากสุดเป็น p และ q ตามลำดับ
โดยการมองแบบ Discrete แบบเดียวกับที่เราใช้เส้นตรงสร้างเส้นโค้งนี้ขึ้นมา แบ่งแกน x และแกน y ออกเป็น m ส่วนเท่าๆกัน แล้วเราลากเส้นตรงจาก ส่วนแรกบนแกน x ไปยังส่วนสุดท้าย(m)บนแกน y , ส่วนที่สองบนแกน x ไปยังส่วนที่ m-1 บนแกน y , ...
ดังนั้นสำหรับ ส่วนที่ k บนแกน x ลากไปยังส่วนที่ m+1-k บนแกน y
จึงได้แนว Locus ของเส้นโค้งดังกล่าวเกิดจากการตัดกันของ เส้นตรง 2 เส้นคือ

x kp/m

+

y (m+1-k)q/m

= 1 ---------- (1)

x (k+1)p/m

+

y (m-k)q/m

= 1 ---------- (2)

แก้สมการจะได้จุดตัดดังกล่าวเป็น

(x,y) =

ๆ ็ ่

pk(k+1) m(m+1)

,

q(m-k)(m-k+1) m(m+1)

๖ ๚ ๘

(x,y) =

ๆ ็ ็ ่

p

ๆ ็ ่

k m

๖ ๚ ๘

ๆ ็ ่

k+1 m+1

๖ ๚ ๘

,

q

ๆ ็ ่

1-

k m

๖ ๚ ๘

ๆ ็ ่

1-

k m+1

๖ ๚ ๘

๖ ๚ ๚ ๘

จะสังเกตได้ว่า

lim mฎฅ

ๆ ็ ่

k m

-

k+1 m+1

๖ ๚ ๘

= 0 และ

lim mฎฅ

ๆ ็ ่

k m

-

k m+1

๖ ๚ ๘

= 0

ดังนั้นเมื่อ mฎฅ เราจะได้แนว Locus ของเส้นโค้งดังกล่าวเป็น

(x,y) = ( pt2 , q(1-t)2) โดยที่ t =

k m

เป็นสมการแบบ parametric ซึ่งเมื่อทำการจัดรูปใหม่จะได้สมการเส้นโค้งดังกล่าวเป็น ึx/p + ึy/q = 1

[Adapt]

ขอบคุณค่ะ ที่ตอบให้
แต่ยังสงสัยที่ว่า

แทนค่า c ใน (1) จะได้ x^2 - 2xy + y^2 - 2kx - 2ky + k^2 = 0
หรือ (x + y - k)^2 = 4xy
หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2
และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2

ซึ่งเป็นกราฟของพาราโบลา เพราะ B^2 - 4AC = 0
และไม่สามารถแยก factor ที่มี Degree หนึ่งได้
ดังนั้น Envelope ที่ต้องการคือ หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2
และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2

ลองนำมา Plot Graph แล้ว ถ้า Plot 1 สมการจะได้เพียงส่วนหนึ่งของพาราโบลาเท่านั้น
แต่ถ้า Plot 2 สมการก้อจะได้เป็น Parabola เต้มๆ
อยากเข้าใจว่า คำจำกัดความของ Parabola มีอะไรบ้าง
และParabola ที่เกิดขึ้นจากการกระทำเช่นนี้นั้น มันไม่ได้หงาย หรือ คว่ำ หรือซ้าย หรือขวา แล้วทำไมมันถึงเกิดขึ้นได้
เป็นการเปลี่ยนแกนหรือป่าว

เอม

[Adapt]

แล้ว Parametric คืออะไรค่ะ

เอม