Easy but Nice

[Influenza_Mathematics]

Find all triples (a,b,c) of non-negative integers satisfying $a\geqslant b\geqslant c$ and

$$a^3+9b^2+9c+7 = 1997$$

[LightLucifer]

ถ้า $10>a$
$1997=10^3+9(10)^2+9(10)+7>a^3+9a^2+9a+7 \ge a^3+9b^2+9c+7$
ถ้า $12<a \rightarrow 13\le a$
$a^3+9b^2+9c+7 \ge 13^2+9+9+7=2,222$
จะได้ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ คือ $10,11,12$
ถ้า $a=11 \rightarrow 9b^2+9c=659$ เป็นไปไม่ได้
ถ้า $a=12 \rightarrow 9b^2+9c=262$ เป็นไปไม่ได้
ถ้า $a=10 \rightarrow 9b^2+9c=990$ เช็คได้ไม่ยากว่า $b=c=10$
ดังนั้น $(a,b,c)=(10,10,10)$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ถ้า $10>a$
$1997=10^3+9(10)^2+9(10)+7>a^3+9a^2+9a+7 \ge a^3+9b^2+9c+7$
ถ้า $12<a \rightarrow 13\le a$
$a^3+9b^2+9c+7 \ge 13^2+9+9+7=2,222$
จะได้ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ คือ $10,11,12$
ถ้า $a=11 \rightarrow 9b^2+9c=659$ เป็นไปไม่ได้
ถ้า $a=12 \rightarrow 9b^2+9c=262$ เป็นไปไม่ได้
ถ้า $a=10 \rightarrow 9b^2+9c=990$ เช็คได้ไม่ยากว่า $b=c=10$
ดังนั้น $(a,b,c)=(10,10,10)$

คิดคล้าย ๆ แบบนี้ แต่ a ที่เป็นไปได้ของผมคือ $1,4,7,10 $ (mod9)

[Influenza_Mathematics]

มาอีกแล้ว !
จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $a^3+b^3+c^3 = 2001$

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

มาอีกแล้ว !
จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $a^3+b^3+c^3 = 2001$

เช็ค mod 9 จะได้ว่า $a,b,c\equiv 1\pmod{3}$
แต่จาก $a^3,b^3,c^3<a^3+b^3+c^3=2001\Rightarrow a,b,c\leq12\Rightarrow a,b,c\in\left\{1,4,7,10\right\}$
ลองไล่ดูก็จะได้คำตอบเป็น $\left\{a,b,c\right\}=\left\{10,10,1\right\}$ และการสับเปลี่ยนทั้งหมด

[Influenza_Mathematics]

Up level !
Find all positive integer $n$ such that $21$ divides $2^{2^n}+ 2^n +1 $

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

Up level !
Find all positive integer $n$ such that $21$ divides $2^{2^n}+ 2^n +1 $

My Solution

$\displaystyle 21|2^{2^n}+2^n+1\rightarrow 3|2^{2^n}+2^n+1,7|2^{2^n}+2^n+1$

$2^n \equiv (-1)^n \pmod{3} $

$2^{2^n} \equiv 1 \pmod{3} $

$1 \equiv 1 \pmod{3}$

เพราะฉะนั้น $n$ ต้องเป็นจำนวนคู่

$2^{2^n} \equiv 2^{3k\pm1} \equiv 2 \pmod{7}$

$1 \equiv 1 \pmod{7}$

จะได้ว่า $2^n \equiv 4 \pmod{7}$

$n=6p+2,\forall \in \mathbb{N} ,0$