โจทย์ง่ายเกี่ยวกับเดซิมอลเรพรีเซนเตชั่น

[Spotanus]

จำนวนนับจำนวนหนึ่ง เมื่อแทรกเลข $2$ (กล่าวคือ นำเลขไปเติมในช่องไฟเมื่อเขียนในรูปฐานสิบ เช่น 134 -> 1234 หรือ 414 -> 2414 ฯลฯ เป็นต้น) ไปในบางหลักแล้วจะได้จำนวนใหม่เป็นห้าเท่าของจำนวนเดิม

จำนวนเดียวกันนี้สามารถ แทรกเลข $3$ ไปในบางหลักแล้วจะได้จำนวนใหม่เป็นพหุคูณของจำนวนเดิม

จงแสดงว่า พหุคูณ ที่ว่านี้มีค่า $7$ เท่า

[God Phoenix]

อ่า... โจทย์ข้อนี้หลอกเราครับ
กำหนดเลขก่อนที่จะใส่ 2 เป็น $X$
เลขหลังจากใส่ 2 แล้วเป็น $Y$
ให้จำนวนเต็มนั้นมี $n$ หลักคือ $a_{n-1}a_{n-2}...a_{1}a_{0}$
หากเราใส่ $2$ แทรกที่อื่นที่ไม่ใช่หน้าสุด เราจะพบว่า $Y$ มีเลขตัวแรกเป็น $a_{n-1}$ และมีจำนวนหลักมากกว่า $X$ อยู่ 1

$5X = 5\sum a_{i}10^i$
$<5(a_{n-1}+1)\cdot 10^{n-1}$
$<5(a_{n-1}+1)\cdot 10^{n-1}$
$\leq 5(2a_{n-1})\cdot 10^{n-1}$
$=a_{n-1}\cdot 10^{n}$
$<Y$

ดังนั้น จะต้องได้ว่า 2 ต้องแทรกไว้ข้างหน้าเท่านั้น

ดังนั้น $Y= 2\cdot 10^{n}+X$
$5X= 2\cdot 10^{n}+X$
$4X=2\cdot 10^{n}$
$X=5\cdot 10^{n-1}$

ต่อไปเราก็ต้องนำเลข 3 ไปแทรก
ใช้ mod X เราก็จะได้โดยง่ายว่า 3 ต้องอยู่หน้าสุดเช่นเดียวกัน

จึงได้ว่า เลขที่ได้เป็น 7 เท่าของเลขเดิม

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ God Phoenix

อ่า... โจทย์ข้อนี้หลอกเราครับ
กำหนดเลขก่อนที่จะใส่ 2 เป็น $X$
เลขหลังจากใส่ 2 แล้วเป็น $Y$
ให้จำนวนเต็มนั้นมี $n$ หลักคือ $a_{n-1}a_{n-2}...a_{1}a_{0}$
หากเราใส่ $2$ แทรกที่อื่นที่ไม่ใช่หน้าสุด เราจะพบว่า $Y$ มีเลขตัวแรกเป็น $a_{n-1}$ และมีจำนวนหลักมากกว่า $X$ อยู่ 1

$5X = 5\sum a_{i}10^i$
$<5(a_{n-1}+1)\cdot 10^{n-1}$
$<5(a_{n-1}+1)\cdot 10^{n-1}$
$\leq 5(2a_{n-1})\cdot 10^{n-1}$
$=a_{n-1}\cdot 10^{n}$
$<Y$

ดังนั้น จะต้องได้ว่า 2 ต้องแทรกไว้ข้างหน้าเท่านั้น

ดังนั้น $Y= 2\cdot 10^{n}+X$
$5X= 2\cdot 10^{n}+X$
$4X=2\cdot 10^{n}$
$X=5\cdot 10^{n-1}$

ต่อไปเราก็ต้องนำเลข 3 ไปแทรก
ใช้ mod X เราก็จะได้โดยง่ายว่า 3 ต้องอยู่หน้าสุดเช่นเดียวกัน

จึงได้ว่า เลขที่ได้เป็น 7 เท่าของเลขเดิม

ก
... ก็ไม่ได้หลอกนิครับ แค่ฮา