[รบกวนตรวจสอบ]การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง โดยไม่ใ้ช้อินทิกรัลจำกัดเขต

[cenia]

กำหนดเส้นโค้ง $y=f(x)$ โดยที่ $f(x) = 2-x^2$ จงหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแนวแกน x บนช่วง $[0,2]$

วิธีทำ แบ่งคิดพื้นที่เป็นสองส่วน คือ บนช่วง $[0,\sqrt{2}]$ และ $[\sqrt{2},2]$

ช่วงที่หนึ่ง แบ่งรูปเป็น n ส่วน จะได้ความกว้างของสี่เหลี่ยมพื้นผ้าทุกรูปยาว = $\frac{\sqrt{2}}{n}$

ความสูง = $f(\frac{\sqrt{2}}{n})$ , $f(\frac{2\sqrt{2}}{n})$,$f(\frac{3\sqrt{2}}{n})$,...,$f(\frac{n\sqrt{2}}{n})$ ตามลำดับ

กำหนด $S_n$ แทนผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมย่อยทั้งหมด

$\therefore S_n= \frac{\sqrt{2}}{n}(f(\frac{\sqrt{2}}{n}))+\frac{\sqrt{2}}{n}(f(\frac{2\sqrt{2}}{n}))+\frac{\sqrt{2}}{n}(f(\frac{3\sqrt{2}}{n}))+ ...+\frac{\sqrt{2}}{n}(f(\frac{n\sqrt{2}}{n}))$

$S_n = \frac{\sqrt{2}}{n}(2-(\frac{\sqrt{2}}{n})^2+2-(\frac{2\sqrt{2}}{n})^2+2-(\frac{3\sqrt{2}}{n})+...+2-(\frac{n\sqrt{2}}{n}))$

$S_n = \frac{\sqrt{2}}{n}(2n-{(\frac{\sqrt{2}}{n}})^2+(\frac{2\sqrt{2}}{n})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{n})^2+...+(\frac{n\sqrt{2}}{n})^2)$

$S_n = \frac{\sqrt{2}}{n}(2n-(\frac{\sqrt{2}}{n})^2(1^2+2^2+3^2+...+n^2))$

$S_n = \frac{\sqrt{2}}{n}(2n-\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})$

$S_n = \frac{\sqrt{2}}{n}(2n-\frac{2n^2}{3n}-1-\frac{1}{3n})$

$S_n = \frac{\sqrt{2}}{3n^2}(4n^2-3n-1)$

แต่เนื่องจากต้องการแบ่งพื้นที่ออกเป็นอนันต์ส่วน จึงหาลิมิตของ $S_n$ ที่ n เ้ข้าใกล้อนันต์

$lim_{n\rightarrow\infty}S_n=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2}}{3n^2}(4n^2-3n-1)$

$lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

เพราะฉะนั้น พื้นที่ส่วนแรก มีค่า $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ ตารางหน่วย

... ทำส่วนที่สองคล้ายๆกัน ได้พื้นที่ $\frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}$ ตารางหน่วย

เพราะฉะนั้น พื้นที่รวม = $\frac{4(2\sqrt{2}-1)}{3}$

ถูกต้องไหมครับ ตอนเขียนมันยาว กลัวผิดพลาด หรือตรงไหนผิดพลาดอย่างไร รบกวนแจ้งด้วยครับ

ปล.ขอบคุณแคลคูลัส ที่ทำให้ไม่ต้องทำวิธีตรง! แต่อันนี้ เรียนก่อนขึ้นการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต เฮือก!