เฉลยหนังสือ สอวน. "อสมการและสมการเชิงฟังก์ชัน" (ส่วนที่ 1 อสมการ)

[Keehlzver]

คือจริงๆเเล้วเขาเฉลยไว้เเค่ข้อเดียวน่ะครับ คือข้อที่ผมบอกว่าได้ไอเดียมาเเละก็เฉลยเเค่อสมการข้างขวาเท่านั้นด้วย กระทู้เเบบนี้ไม่ซ้ำหรอกครับ เป็นเเหล่งรวมเฉลยหนังสือเล่มใหญ่ก็ดีเเล้วครับ (ผมละอยากให้มีเฉลยถึงโจทย์ข้อสุดท้ายของสมการเชิงฟังก์ชันจริงๆเลย)

ส่วนข้อที่คุณ Nooonuii ให้ไปเเก้ผมลองคิดเเบบอุปนัยดูเเล้วคิดไม่ออกจริงๆครับ เลยเอาเฉลยของโลกอสมการมาลงไว้ก่อน

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

คือจริงๆเเล้วเขาเฉลยไว้เเค่ข้อเดียวน่ะครับ คือข้อที่ผมบอกว่าได้ไอเดียมาเเละก็เฉลยเเค่อสมการข้างขวาเท่านั้นด้วย กระทู้เเบบนี้ไม่ซ้ำหรอกครับ เป็นเเหล่งรวมเฉลยหนังสือเล่มใหญ่ก็ดีเเล้วครับ (ผมละอยากให้มีเฉลยถึงโจทย์ข้อสุดท้ายของสมการเชิงฟังก์ชันจริงๆเลย)

ส่วนข้อที่คุณ Nooonuii ให้ไปเเก้ผมลองคิดเเบบอุปนัยดูเเล้วคิดไม่ออกจริงๆครับ เลยเอาเฉลยของโลกอสมการมาลงไว้ก่อน

ผมเองก็อยากให้เฉลยถึงข้อสุดท้ายเหมือนกัน ... คงเป็นกระทู้ในฝันของบรรดาคนสอบ สอวน. อย่างสุดๆ

อ.ดำรงค์ เขียนโลกอสมการไว้ แต่ยังไม่มีเล่มสมการเชิงฟังก์ชัน และเท่าที่ผมรู้ก็ยังไม่มีหนังสือภาษาไทยที่เฉลย
สมการเชิงฟังก์ชันไว้เยอะๆ ด้วย (ยกเว้นตัวอย่างในเล่ม สอวน. ซึ่งก็ถือว่ามากพอดู)

เราชาว MathCenter มาช่วยกันสร้างความฝันให้เป็นจริงดีกว่าครับ ...

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.1: อสมการ AM-GM (มี 15 ข้อ)

1. ให้ $\;a,b,c \in R_0\;$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b)(b+c)(c+a) \geqslant 8abc$

2. ให้ $\;a_i > 0 (i = 1,...,n)\;$ สอดคล้องกับ $\;a_1a_2...a_n = 1\;$ จงพิสูจน์ว่า $\;(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n) \geqslant 2^n$

โจทย์ที่เหลือผมจะเข้ามาโพสต์เพิ่มเติมอีก ...

1. โดย AM.-GM. Inequality จะได้ว่า
$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ และ $b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$ และ$c+a\geqslant 2\sqrt{ca}$
คูณกันจะได้ว่า
$(a+b)(b+c)(c+a) \geqslant 8abc$

2.โดย AM.-GM. Inequality จะได้ว่า
$1+a_1 \geqslant 2\sqrt{a_1}$
$1+a_2 \geqslant 2\sqrt{a_2}$
.
.
.
$1+a_n \geqslant 2\sqrt{a_n}$
คูณกันจะได้ว่า
$(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\geqslant 2^n\sqrt{a_1a_2...a_n}=2^n$

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

...
ข้อ $7$ อสมการข้างขวาเราต้องพิสูจน์ว่า $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}<\frac{3}{4}$ เมื่อ $k\geq 2$ เเต่พอลองเเทนลงไปเเล้วอสมการเป็นเท็จ เเบบนี้หมายความว่าพิสูจน์โดยอุปนัยไม่ได้เหรอครับ

ได้ครับ แต่ต้องดัดแปลงนิดหน่อย ยังใช้อุปนัยกับตัวโจทย์ทันทีเลยไม่ได้

Hint

ลองพิสูจน์ดูว่า $\displaystyle \frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n} \leq\frac{3}{4}-\frac{1}{2n+2}<\frac{3}{4}$ ด้วยการอุปนัยแทนดูครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมมีข้อสงสัยในข้อ 4 นิดหน่อยครับ
โจทย์มีเงื่อนไขว่า a , b , c เป็นจำนวนจริงบวก
แล้ว ab+bc+ca จะเป็นลบได้ไงครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

10. ถ้า $a, b \in R^{+}\;$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $\;\frac{1}{a}+\frac{4}{b} > \frac{9}{a+b}$

11. จงพิสูจน์ว่า $\left(\,1-\frac{1}{(1993)^3}\right) \left(\,1-\frac{1}{(1994)^3}\right) ... \left(\,1-\frac{1}{n^3} \right) > \frac{1992}{1993}\;$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับ $\geqslant 1993$

12. จงแก้อสมการ $(x^3+x^2+1)^2 > 4x^3(x-1)^2$

10. อสมการสมมูลกับ $(2a-b)^2\geq 0$

11. จาก $1-\dfrac{1}{(k+1)^3}=\dfrac{k(k^2+3k+3)}{(k+1)^3}>\dfrac{k(k+1)(k+2)}{(k+1)^3}$

ดังนั้น

$LHS>\dfrac{(1992\cdot 1993\cdot 1994)(1993\cdot 1994\cdot 1995)\cdots((n-1)\cdot n\cdot (n+1))}{1993^3\cdot1994^3\cdots n^3}$

$~~~~~=\dfrac{1992(n+1)}{1993n}$

$~~~~~>\dfrac{1992}{1993}$

12. ถ้า $x<0$ อสมการเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด

ถ้า $x>0$ อสมการสมมูลกับ $x^4((x-1)^2+8)+2x^3+6x^2+9>0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

15. ให้ $\; m, n \in N\;$ จงพิสูจน์ว่า $\;\left|\,\frac{m+2n}{m+n} - \sqrt{2} \right| < \;\left|\,\frac{m}{n} - \sqrt{2} \right|$

ให้ $x=\dfrac{m}{n}$

จะได้ว่าอสมการที่ต้องพิสูจน์คือ

$\Big|\dfrac{x+2}{x+1}-\sqrt{2}\Big|<|x-\sqrt{2}|$

แยกเป็นสองกรณี

กรณีที่ 1 $x\leq \sqrt{2}$ จะได้ว่า

$x\leq\sqrt{2}\leq\dfrac{x+2}{x+1}$

ดังนั้นอสมการจะกลายเป็น

$\dfrac{x+2}{x+1} -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}-x$

ซึ่งจะสมมูลกับ

$(x-\sqrt{2})(x+2-\sqrt{2})\leq 0$

กรณีที่ 2 $x\geq \sqrt{2}$ จะได้ว่า

$x\geq\sqrt{2}\geq\dfrac{x+2}{x+1}$

ดังนั้นอสมการจะกลายเป็น

$\sqrt{2}-\dfrac{x+2}{x+1} \leq x -\sqrt{2}$

ซึ่งจะสมมูลกับ

$(x-\sqrt{2})(x+2-\sqrt{2})\geq 0$

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ผมมีข้อสงสัยในข้อ 4 นิดหน่อยครับ
โจทย์มีเงื่อนไขว่า a , b , c เป็นจำนวนจริงบวก
แล้ว ab+bc+ca จะเป็นลบได้ไงครับ

ผมพิมพ์ผิดพลาดเองครับ ความจริงโจทย์ต้องเป็น "จำนวนจริง" ... ขอบคุณครับ!

ผมเข้าไปแก้ไขแล้ว

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

แบบฝึกหัด 2.1 อสมการ A.M.-G.M. ครับ
ข้อ 1. นะครับ
$\frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}$ ...(1)
$\frac{b+c}{2}\geqslant \sqrt{bc}$ ...(2)
$\frac{c+a}{2}\geqslant \sqrt{ac}$ ...(3)
นำอสมการมาคูณกัน
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geqslant \sqrt{a^2b^2c^2}$
$(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ตามมาด้วยข้อ 2. นะครับแนวคิดเดียวกัน
$\frac{1+a_1}{2} \geqslant \sqrt{1*a_1} $
$\frac{1+a_2}{2} \geqslant \sqrt{1*a_2} $
$\frac{1+a_3}{2} \geqslant \sqrt{1*a_3} $
.
.
.
$\frac{1+a_n}{2} \geqslant \sqrt{1*a_n} $
นำทั้งหมดมาคูณกัน
$\frac{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)...(1+a_n)}{2^n} \geqslant \sqrt{a_1a_2a_...a_n} $

และโจทย์กำหนดว่า $a_1a_2a_...a_n=1$ จึงได้

$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)...(1+a_n)\geqslant 2^n$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ผมเองก็อยากให้เฉลยถึงข้อสุดท้ายเหมือนกัน ... คงเป็นกระทู้ในฝันของบรรดาคนสอบ สอวน. อย่างสุดๆ

อ.ดำรงค์ เขียนโลกอสมการไว้ แต่ยังไม่มีเล่มสมการเชิงฟังก์ชัน และเท่าที่ผมรู้ก็ยังไม่มีหนังสือภาษาไทยที่เฉลย
สมการเชิงฟังก์ชันไว้เยอะๆ ด้วย (ยกเว้นตัวอย่างในเล่ม สอวน. ซึ่งก็ถือว่ามากพอดู)

เราชาว MathCenter มาช่วยกันสร้างความฝันให้เป็นจริงดีกว่าครับ ...

เอ ทำไมคุย FE ในนี้ล่ะ 55
ว่าแต่ มีหนังสือเล่มนึง ไม่รู้คนอื่นเคยเห็นกันบ้างป่าว
เป็นหนังสือเล่มสีแดง "สมการเชิงฟังก์ชัน" ของ สสวท ซึ่งเลิกพิมพ์ไปแล้ว
ตอนนี้ผมมีสะสมไว้ที่บ้านอยู่ ซึ่งก็มีเฉลยมากพอควร โจทย์ก็พอๆกับหนังสือ สอวน
แต่เฉลยของเล่มนี้เค้าจะง่ายกว่าของ สอวน อีก ,พอไปดู สอวน แล้วอ่านไม่รู้เรื่องเลย

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 2.1 ข้อ 3.
$\frac{ad+bc}{2}\geqslant \sqrt{adbc}....(1)$
$ad+bc\geqslant 2\sqrt{adbc}$
$ab+ad+bc+cd\geqslant ab+2\sqrt{adbc}+cd$
$(a+c)(b+d)\geqslant (\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2$
$\sqrt{(a+c)(b+d)}\geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{cd}$

[Switchgear]

ผมเพิ่มโจทย์บทที่ 2 ในความเห็น #15 ครบหมดแล้ว ... ใครเฉลยได้ก็โพสต์เลยครับ!

ช่วงนี้ใกล้เปิดเทอมแล้ว คิดว่าเพื่อนๆ ชาว MC ส่วนใหญ่คงเริ่มจะไม่ค่อยว่างนัก แต่ก็หวังว่ากระทู้นี้
จะค่อยๆ คืบคลานสู่จุดหมายได้ ... แม้จะกินเวลานานหน่อย :-)

มาเริ่มโจทย์สำหรับบทที่ 3 กันดีกว่า ...

บทที่ 3: อสมการ Cauchy-Schwarz (มีเฉพาะแบบฝึกหัดท้ายบท ทั้งหมด 16 ข้อ)

1. ให้ $\;a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\;$ เป็นจำนวนจริง จงพิสูจน์ว่า
$\qquad \sqrt{a_1^2 + ... + a_n^2}\;\sqrt{b_1^2 + ... + b_n^2} \;\; \geqslant \; \sqrt{(a_1+b_1)^2 + ... + (a_n+b_n)^2}$

2. ให้ $\;a_1,...,a_n \in R \;(n>1)\;$ และ $\;A + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2 \;<\; \frac{1}{n-1}\left(\,\sum_{i = 1}^{n} a_i\right)^2$ จงพิสูจน์ว่า $A < 2a_ia_j (1 \leqslant i < j \leqslant n)$

3. ให้ $\;x_1,...,x_n \in R^+,\; k \in N_0 \;$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{x_1^k+...+x_n^k}{n}\;\; \leqslant\;\; \frac{x_1^{k+1}+...+x_n^{k+1}}{x_1+...+x_n}}$

4. ถ้า $\;2x+4y = 1\;$ สำหรับบาง $x,y \in R$ แล้ว จงแสดงว่า $x^2 + y^2 \;\;\geqslant\;\; \frac{1}{20}$

โจทย์ที่เหลือค่อยมาโพสต์ต่อนะครับ ...

[Keehlzver]

ขอบคุณที่อุตสาห์เอามาลงเพิ่มนะครับ อย่าหายกันไปไหนละครับ
บท AM-GM

5. (APMC 1971) ให้ $\;n \in N, n \geqslant 2\;$ เเละ $\;a, x_1,...,x_n \in R^+\;$ จงพิสูจน์ว่า
$\qquad \frac{a^{x_1-x_2}}{x_1+x_2} + \frac{a^{x_2-x_3}}{x_2+x_3} + ... + \frac{a^{x_n-x_1}}{x_n+x_1} \geqslant \frac{n^2}{2(x_1+...+x_n)}$ เเละหาเงื่อนไขที่ทำให้เป็นสมการ

Solution

โดย AM-GM
$\frac{a^{x_1-x_2}}{x_1+x_2}+\cdots\frac{a^{x_n-x_1}}{x_n+x_1}\geq\frac{n}{\sqrt[n]{(x_1+x_2)(x_2+x_3)\cdots(x_n+x_1)}}$ เเละ $2(x_1+x_2+\cdots+x_n)=(x_1+x_2)+(x_2+x_3)+\cdots+(x_n+x_1)\geq n\sqrt[n]{(x_1+x_2)(x_2+x_3)\cdots(x_n+x_1)}$ นำอสมการทั้งสองมาคูณกัน จะได้อสมการที่โจทย์ต้องการ สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x_i$ เท่ากันทุกค่า $i$

6. ให้ $\;a_1,...,a_n,b_1,...,b_n,c_1,...c_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า $\qquad \left(\,\sum_{i = 1}^{n} a_ib_ic_i \right)^3 \leqslant \left(\,\sum_{i = 1}^{n} a_i^3 \right)^3\left(\,\sum_{i = 1}^{n} b_i^3 \right)^3\left(\,\sum_{i = 1}^{n} c_i^3 \right)^3$

Solution

โดยอสมการ AM-GM

$\frac{a_1^3}{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}+\frac{b_1^3}{b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3}+\frac{c_1^3}{c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3}\geq\frac{3 a_1b_1c_1}{\sqrt[3]{(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)}}$

$\frac{a_2^3}{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}+\frac{b_2^3}{b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3}+\frac{c_2^3}{c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3}\geq\frac{3 a_2b_2c_2}{\sqrt[3]{(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)}}$
$\vdots$
$\frac{a_n^3}{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}+\frac{b_n^3}{b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3}+\frac{c_n^3}{c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3}\geq\frac{3 a_nb_nc_n}{\sqrt[3]{(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)}}$

นำอสมการทั้งหมดมาบวกกันเเล้วยกกำลัง 9 จะได้ผลตามต้องการ

7. ให้ $\;a,b,c \in R^+$ จงพิสูจน์ว่า $\;2\sqrt{ab+bc+ca} \leqslant \sqrt{3}\; \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Solution

อสมการสมมูลกับ $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2}}\leq\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{3}}$จากอสมการ AM-GM เราได้ว่า $(a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc$ บวกด้วย $8(a+b)(b+c)(c+a)$ ทั้งสองข้าง จากเอกลักษณ์ $(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)$ เราจะได้อสมการมา Bound คือ $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$ หรือ $(a+b)(b+c)(c+a)\geq\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$อสมการโจทย์ข้างซ้าย

$\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{3}}\geq\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}}\geq\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM

บท Weight AM-GM

1.(British MO) ให้ $\;p,q,r \in R_0\;$ มีสมบัติว่า $p+q+r=1$ จงพิสูจน์ว่า $7(pq+qr+rp) \leqslant 2+9pqr$

Solution

Homogenize ได้อสมการ $7(p+q+r)(pq+qr+rp)\leq 2(p+q+r)^3+9pqr$ ใช้เอกลักษณ์ $(p+q+r)^3=p^3+q^3+r^3+3(p+q)(q+r)(r+p)$ เเละ $(p+q+r)(pq+qr+rp)=(p+q)(q+r)(r+p)+pqr$ จะได้อสมการลดรูปลงไปเป็น $2(p^3+q^3+r^3)+2pqr\geq p^3q+q^3r+r^3p+pq^3+qr^3+rp^3+2pqr$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ Holder $p^3+q^3+r^3\geq p^2q+q^2r+r^2p$ เเละ $p^3+q^3+r^3\geq pq^2+qr^2+rp^2$

บท Cauchy-Schwarz ไว้จะมาลงให้ทีหลังนะครับ ทั้งร้อนทั้งง่วง ขอตัวไปนอนก่อนละครับ

[Switchgear]

ผมไม่สบายไปหลายวัน ... ได้แค่เข้ามาแวะดู แต่ไม่มีสมาธิจะทำอะไร
ก็เลยเหมือนกับหายไปนาน ยังไงก็จะพยายามต่อยอดให้ได้เยอะที่สุดครับ :-)