ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ

[Switchgear]

ในกระทู้นี้ผมจะเอาปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ มาทยอยลงให้เพื่อนๆ ลองคิด และทยอยเฉลยให้ด้วย
คิดว่าโจทย์ส่วนใหญ่ไม่น่าจะซ้ำกับที่เคยเห็นในหนังสือทั่วไป และคิดว่ายังไม่มีใครโพสต์ไว้ ???

ถ้าใครคุ้นๆ ว่าเคยมีคนอื่นโพสต์ไว้ก่อนแล้ว ก็ช่วยแจ้งผมด้วยครับ จะได้ไม่ต้องลงซ้ำกัน ...

เรามาเริ่มต้นข้อแรกกันเลย (จะลงทั้งโจทย์ภาษาอังกฤษต้นฉบับ และคำแปลไทยเท่าที่ผมพอจะแปลให้ได้)

---------------------------------------------------------------------------------------

Problem 1:
It is required to find four affirmative integer numbers, such that the sum of every two of
them shall be a cube.

ปัญหาข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็มบวกสี่จำนวน ซึ่งผลบวกของสองจำนวนใดๆ อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสาม

---------------------------------------------------------------------------------------

คุณ warut ลองหาชุดตัวเลขที่น้อยที่สุดจาก computer search ดูหน่อยซิครับ ผมอยากรู้ว่าที่คนเฉลยคุยไว้ว่า
ตัวเลขชุดที่เขาคำนวณได้น่าจะเป็นคำตอบที่เล็กสุดแล้ว จริงหรือเปล่า ?
.

[Switchgear]

ระหว่างรอคุณ warut แจ้งผล computer search ... ผมแวะมาให้คำตอบไว้ก่อน

จำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวน ที่ได้จากการคำนวณ (ซึ่งคิดว่าเล็กที่สุดแล้ว ?) คือ
2,080,913,082,956,455,142,636
4,937,801,347,510,680,732,948
7,262,810,476,410,016,163,052
214,972,108,693,241,589,340,948

เหลือเชื่อไหมครับว่า มีคนที่คำนวณคำตอบชุดนี้ไว้เมื่อประมาณ 120 ปีมาแล้ว ...

ผมลองใช้ Excel ช่วยตรวจสอบข้อมูล ปรากฎว่า Error เพราะตัวเลขใหญ่เกินไป
เลยต้องใช้โปรแกรมเฉพาะทางด้านคณิตศาสตร์ ซึ่งตรวจสอบแล้ว คำตอบนี้ถูกต้อง
คือผลบวกทุกสองจำนวนอยู่ในรูปจำนวนเต็มกำลังสาม

แต่ยังไม่รู้ว่าคำตอบเล็กที่สุดหรือยัง คงต้องรอคุณ warut ช่วย comfirm ?

[kanakon]

ผมเคยใช้ delphi เขียนโปรแกรมคำนวญเล่นเช่น หาจำนวนมิตรภาพ เลขยกกำลังเป็นต้น หาก input เลขเหล่านี้ไป

เวลารันมันจะบอกว่า error ทันที หรือไม่ก็ไม่สามารถแสดง output ที่เป็น integer มากขนาดนี้ได้ในการคำนวณ(loop error)

ผมยอมรับว่าคนที่คิดได้สุดยอดจริงๆคับ

[Switchgear]

ผมจะเริ่มพิมพ์เฉลยข้อแรกให้เพื่อนผู้รักคณิตศาสตร์ได้อ่านกัน ...

แต่เนื่องจากขั้นตอนการคำนวณยุ่งยากซับซ้อนพอสมควร คงต้องเฉลยกันยาวซักหน่อย
ผมอาจจะพิมพ์ให้อ่านบางส่วนก่อน แล้วค่อยเข้ามาเพิ่มเติมเรื่อยๆ จนจบข้อ

มาดูกันครับว่า ตัวเลขผลลัพธ์ความยาวตั้ง 22 ถึง 24 หลักที่ให้ไว้นั้น คำนวณมาได้อย่างไร :-)
.

[Switchgear]

Problem 1:
It is required to find four affirmative integer numbers, such that the sum of
every two of them shall be a cube.

ปัญหาข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็มบวกสี่จำนวน ซึ่งผลบวกของสองจำนวนใดๆ อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสาม

วิธีทำ
เราเริ่มต้นด้วยการสมมติให้จำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวน คือ
$P\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right),\;\;Q\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 - y^3 + z^3 } \right),$
$R\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - x^3 + y^3 + z^3 } \right),\;\;S\; = \;v^3 - {\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)$

ซึ่งจะพบว่า $P + Q\; = \;x^3 ,\;\;P + R\; = \;y^3 ,\;\;Q + R\; = \;z^3 ,\;\;P + S\; = \;v^3$

ตอนนี้เราได้ 4 ใน 6 คู่ของผลบวกทีละสองจำนวนที่อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสามแล้ว

สมมติให้ $Q + S\; = \;v^3 - y^3 + z^3 \; = \;w^3$ จัดรูปได้เป็น $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3$
สมมติให้ $R + S\; = \;v^3 - x^3 + z^3 \; = \;u^3$ จัดรูปได้เป็น $v^3 + z^3 \; = \;u^3 + x^3$
นั่นคือเราต้องแก้ระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$
เพื่อหา $v,\;x,\;y,\;z$ ออกมา

เรามาเริ่มแก้สมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3$ กันก่อน
แทน $v\; = \;a + b,\;\;z\; = \;a - b,\;\;w\; = \;c + d,\;\;y\; = \;c - d$ จะได้ $a(a^2 + 3b^2 )\; = \;c(c^2 + 3d^2 )$
สมมติให้ $a\; = \;3np + 3mq,\;\;b\; = \;mp - 3nq,\;\;c\; = \;3nr + 3ms,\;\;d\; = \;mr - 3ns$
เมื่อแทนค่าในสมการ แล้วจัดรูปจะได้ $(np + mq)(p^2 + 3q^2 )\; = \;(nr + ms)(r^2 + 3s^2 )$
นั่นคือ $m:n\; = \;r(r^2 + 3s^2 ) - p(p^2 + 3q^2 ):q(p^2 + 3q^2 ) - s(r^2 + 3s^2 )$
เมื่อเราให้ $m\; = \;r(r^2 + 3s^2 ) - p(p^2 + 3q^2 )$ จะได้ $n\; = \;q(p^2 + 3q^2 ) - s(r^2 + 3s^2 )$ ดังนั้น
$a\; = \;3np + 3mq\; = \;(3rq - 3ps)(r^2 + 3s^2 )$
$b\; = \;mp - 3nq\; = \;(pr + 3qs)(r^2 + 3s^2 ) - (p^2 + 3q^2 )^2$
$c\; = \;3nr + 3ms\; = \;(3rq - 3ps)(p^2 + 3q^2 )$
$d\; = \;mr - 3ns\; = \;(r^2 + 3s^2 )^2 - (pr + 3qs)(p^2 + 3q^2 )$
ตอนนี้เราก็แทนค่าหา $v\; = \;a + b,\;\;z\; = \;a - b,\;\;w\; = \;c + d,\;\;y\; = \;c - d$ ได้แล้ว
เราลองเลือก $p,\;q,\;r,\;s$ ที่ทำให้ $v,\;z,\;w,\;y$ เป็นค่าบวก โดยเริ่มจาก $0$ ไล่ขึ้นไปเรื่อยๆ
จะพบผลลัพธ์แรกที่ต้องการเมื่อ $p\; = \;6,\;\;q\; = \;14,\;\;r\; = \;7,\;\;s\; = \;14$
ซึ่งจะได้ $v\; = \;13 \times 2976,\;\;z\; = \;13 \times 1140,\;\;w\; = \;13 \times 2989,\;\;y\; = \;13 \times 1043$
หารด้วย $13$ ก็จะได้ $2976^3 + 1140^3 \; = \;2989^3 + 1043^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$

คราวนี้เราต้องแก้สมการส่วนที่เหลือคือ $u^3 + x^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$
ซึ่งโจทย์ที่เราแก้คือการแบ่ง $13 \times 3613$ ให้เป็นผลบวกของกำลังสามสองตัว
เนื่องจาก $13 \times 3613$ เป็นจำนวนคี่ สมมติให้ ${\textstyle{1 \over 2}}(f + g)^3 + {\textstyle{1 \over 2}}(f - g)^3 \; = \;3 \times 3613$
จัดรูปให้เรียบร้อยจะได้ $f(f^2 + 3g^2 )\; = \;4 \times 3 \times 3613$
แต่ว่า $3613$ เป็นจำนวนเฉพาะ และเห็นชัดอยู่แล้วว่าต้องมากกว่า $f$
เมื่อ $f$ เป็นจำนวนเต็มก็ต้องเป็นตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งจาก $1,\;2,\;4,\;13,\;23,\;52$
จากการทดสอบพบคำตอบ คือ $f\; = \;13,\;\;g\; = \;69,\;\;{\textstyle{1 \over 2}}(f + g)\; = \;41,\;\;{\textstyle{1 \over 2}}(f - g)\; = \; - 28$
นั่นคือ $41^3 - 28^3 \; = \;3 \times 3613$ ซึ่งอยู่ในรูปของผลต่างของกำลังสามสองตัว
แปลงเป็นผลบวกโดยใช้เอกลักษณ์ $a^3 - b^3 \; = \;\left( {{{a(a^3 - 2b^3 )} \over {a^3 + b^3 }}} \right)^3 + \left( {{{b(2a^3 - b^3 )} \over {a^3 + b^3 }}} \right)^3 $
เมื่อแทนค่า $a\; = \;41,\;\;b\; = \; - 28$ จะได้ $\left( {{{1081640} \over {30291}}} \right)^3 + \left( {{{341899} \over {30291}}} \right)^3 \; = \;13 \times 3613$
ดังนั้นจึงได้ว่า $u^3 + x^3 \; = \;\left( {{{30285920} \over {10097}}} \right)^3 + \left( {{{9573172} \over {10097}}} \right)^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$

เราได้คำตอบของระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$ คือ
$2976^3 + 1140^3 \; = \;2989^3 + 1043^3 \; = \;\left( {{{30285920} \over {10097}}} \right)^3 + \left( {{{9573172} \over {10097}}} \right)^3 $
ทำการคูณด้วยตัวคูณเพื่อแปลงให้เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด จะได้
$v\; = \;60571840,\;\;x\; = \;23021160,\;\;y\; = \;21062342,\;\;z\; = \;19146344$

นำไปแทนค่าหาจำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวนที่โจทย์ต้องการ คือ
$P\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)\; = \;{\rm 7,262,810,476,410,016,163,052}$
$Q\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 - y^3 + z^3 } \right)\; = \;{\rm 4,937,801,347,510,680,732,948}$
$R\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - x^3 + y^3 + z^3 } \right)\; = \;{\rm 2,080,913,082,956,455,142,636}$
$S\; = \;v^3 - {\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)\; = \;{\rm 214,972,108,693,241,589,340,948}$


เฮ้อ...กว่าจะเฉลยจนจบได้ เป็นยังไงบ้างครับ ทึ่งกับวิธีแก้โจทย์ของคนสมัยก่อนหรือเปล่า ?
.

[Switchgear]

ผมเฉลยข้อแรกจบไปแล้ว ตอนนี้ขอโพสต์ปัญหาข้อที่สองให้คิดกันต่อ เผื่อว่าใครจะลองนั่งคิดเล่นแก้เหงา

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 2:
Find three integral numbers in arithmetical progression such that
their common difference shall be a cube;
the sum of any two, diminished by the third, a square;
the sum of the roots of the required squares an 8th power;
the first of the required squares, a 7th power, the second a 5th power, the third a biquadrate,
and the mean of the three required numbers a square.

ปัญหาข้อ 2:
จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง
ผลต่างร่วมต้องเป็นจำนวนยกกำลังสาม;
ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง;
ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เป็นจำนวนยกกำลังแปด;
จำนวนยกกำลังสองตัวแรกเป็นจำนวนยกกำลังเจ็ด, ตัวที่สองเป็นจำนวนยกกำลังห้า, ตัวที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสี่,
และค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มทั้งสามจำนวนที่โจทย์ต้องการเป็นจำนวนยกกำลังสอง

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ไม่รู้ว่าโจทย์ที่มีเงื่อนไขซับซ้อนยุ่งยากแบบนี้ จะอาศัย computer search ได้หรือเปล่า ?

ทิ้งโจทย์ไว้ให้ลองคิดซักพักก่อน แล้วผมค่อยมาโพสต์คำตอบให้ตรวจสอบกันอีกที :-)
.

[Switchgear]

ผมคิดว่าแค่เห็นเฉลยปัญหาข้อ 1 กับโจทย์ของปัญหาข้อ 2 ก็คงทำให้หลายคนถอดใจไปแล้ว

อยากบอกไว้ก่อนว่า โจทย์ดุสุดๆ ของชุดนี้คือปัญหาข้อ 23 ซึ่งแค่โจทย์ก็ปาเข้าไปเกือบครึ่งหน้ากระดาษแล้ว
ในต้นฉบับภาษาอังกฤษ เขาใส่รูปหัวช้างไว้หน้าข้อนี้ด้วย ซึ่งปกติเราจะเคยเห็นตำราบางเล่มใส่เครื่องหมาย *
เพื่อแสดงว่าข้อนั้นๆ เป็นโจทย์ระดับยาก (มีคนคิดออกไม่เยอะ) แต่ข้อ 23 ที่ว่านี้เขาใส่หัวช้างไว้เลย
คิดดูละกันครับว่ามันจะโหดแค่ไหน ... :-)

[Mathophile]

สุดยอดจริง ๆ ครับสำหรับวิธีแก้ปัญหาข้อ 1 ต้องอาศัยความพยายามและความอดทนอย่างสูงเลยทีเดียว
แล้วอย่างนี้ข้อ 23 ที่คุณ Switchgear พูดถึง (ขู่ )จะเป็นยังไงล่ะนี่...

[Switchgear]

ผมคิดว่า:

"คนที่อดทนอ่านเฉลยในกระทู้นี้ตั้งแต่ข้อ 1-22 จบแล้ว คงไม่หวั่นไหวกับข้อ 23 (ถ้ายังอดทนไหว)"

จริงไหมครับ ? ...

[Switchgear]

สำหรับใครที่สนใจอ่านวิธีแก้ Diophantine Problems ด้วยฝีมือของปรมาจารย์ Euler
ให้ติดตามอ่านได้ในกระทู้ "จำนวนเต็ม 3 ตัวที่ผลบวกและผลต่างเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง"
ซึ่งหากผมอดทนพอ ก็จะมีโจทย์พร้อมเฉลยจำนวน 17 ข้อ

[Switchgear]

เพื่อให้เกียรติแก่เฉลยปัญหาข้อ 1 คือ Abijah McLean ผมขอนำข้อความชื่นชมท่านที่อยู่ในเอกสารชุดนี้มาให้อ่าน

The solution of problem 1 is by the late Abijah McLean, Esq., of New Lisbon, Ohio,
who was very skillful in handling Diophantine Problems of great difficulty.

[TOP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ผมลองใช้ Excel ช่วยตรวจสอบข้อมูล ปรากฎว่า Error เพราะตัวเลขใหญ่เกินไป
เลยต้องใช้โปรแกรมเฉพาะทางด้านคณิตศาสตร์ ซึ่งตรวจสอบแล้ว คำตอบนี้ถูกต้อง
คือผลบวกทุกสองจำนวนอยู่ในรูปจำนวนเต็มกำลังสาม

แต่ยังไม่รู้ว่าคำตอบเล็กที่สุดหรือยัง คงต้องรอคุณ warut ช่วย comfirm ?

ใช้ Calculator ที่มากับ Windows ก็ช่วยตรวจสอบได้ครับ ใส่ตัวเลขได้ถึง 32 หลักทีเดียว

ปัญหาข้อแรกนี้ตอนสมมติ $P, Q, R, S$ ไม่มีปัญหาอะไร น่าจะมาแนวทางนี้กันทุกคน แต่จะมาตายตรงแก้ระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$ นี่สิ

คนที่นั่งแก้ต่อไปได้นี่ต้อง อาศัยความสามารถเฉพาะตัวเป็นอย่างมาก แต่ที่สำคัญกว่านั้น อะไรทำให้เขาเชื่อมั่นว่า ปัญหาข้อนี้มันมีคำตอบจริงๆ

ตอนบ่าย ผมลองเขียนโปรแกรมขึ้นมาตรวจสอบแบบไล่ไปเรื่อยๆ จนบัดนี้ พบว่าจำนวนสี่ตัวที่น้อยกว่า 33,000,000 ยังไม่มีสมบัติที่ว่านี้สักชุด (ถ้าเขียนไม่ผิดนะครับ )

[Switchgear]

ขอบคุณคุณ Top มากครับ ที่อุตส่าห์ช่วยเขียนโปรแกรมเช็คให้มั่นใจ ผมเองก็อยากรู้คำตอบเหมือนกันว่า
มีชุดคำตอบที่น้อยกว่านี้หรือเปล่า ? (คำตอบที่มากกว่านี้ มีอยู่ในเอกสารอยู่แล้ว ซึ่งไม่น่าสนใจ)

ผมนับถือคนที่แก้โจทย์แบบนี้อย่างยิ่งครับ ...
ถ้าเป็นผมเอง คงเลิกไปตั้งแต่ระบบสมการที่คุณ Top ว่าไว้นั่นแหละ

[Switchgear]

แวะเข้ามาบอกคำตอบของปัญหาข้อ 2 เพื่อใช้ตรวจผลการคำนวณ (เผื่อใครคิดออกก่อน)

$1321 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$
$1681 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$
$2041 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$

ชุดตัวเลขจะง่ายสุดเมื่อให้ $t = 1$ ... นั่นคือเราหาชุดคำตอบจำนวนเต็มได้มากมายไม่รู้จบ โดยแทนค่า t ตามต้องการ

.

[Switchgear]

คำตอบของปัญหาข้อ 2 สงสัยว่าจะไม่มีใครอยากลองคิดตาม (ผมเองเห็นคำตอบแบบนี้ก็ท้อเหมือนกัน )

ผมจะรีบหาเวลามาเฉลยปัญหาข้อ 2 ว่าตัวเลขยุ่งๆ พวกนี้หามาได้ยังไง ... อย่าลืมติดตามอ่านนะครับ