Calculus ค่ะ

[คน-อ่อน-เลข]

รบกวนหน่อยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ

[NaPrai]

27.

วิธีที่ 1 (ไม่ใช้ Calculus)

จากสมการเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด $(0,0)$ ดังนั้น สมการเส้นตรง คือ $y=mx$ และกราฟสมการพาราโบลา $y=x^2+2$ จากกราฟสมการสองสมการสัมผัสกัน ซึ่งสามารถตีความได้ว่า ระบบสมการสองสมการนี้มีคำตอบเดียวนั่นเอง ซึ่งก็คือ $x^2-mx+2=0$ มีคำตอบเดียว พิจารณาจากดิสคริมิแนนท์จะต้องเท่ากับ 0 ได้ว่า $m=\pm2\sqrt{2}$ แต่ว่าโจทย์กล่าวว่า กราฟสัมผัสกันที่จตุภาคที่ 1 ดังนั้นตรวจสอบได้ไม่ยากว่า $m=2\sqrt{2}$

วิธีที่ 2 (ใช้ Calculus)

ให้สมการเส้นตรงสัมผัสที่ $x=a$ จะได้ว่าจุดสัมผัส คือ $(a, a^2+2)$ เพื่อความสะดวกให้ $f(x)=x^2+2$
ดังนั้น ความชันของเส้นตรงที่สัมผัส คือ $f'(a)=2a$
จากสมการเส้นตรงนี้ผ่านจุด $(0,0) และ (a, a^2+2)$ จะได้ความชันก็คือ $\frac{(a^2+2)-0}{(a)-0}=\frac{a^2+2}{a}$
จะได้ว่า $2a=\frac{a^2+2}{a}$ หลังจากแก้สมการจะได้ $a=\pm \sqrt{2}$
ดังนั้น ความชันของกราฟเส้นตรง คือ $2a=\pm 2\sqrt{2}$ แต่ว่าโจทย์กล่าวว่า กราฟสัมผัสกันที่จตุภาคที่ 1 ดังนั้นตรวจสอบได้ไม่ยากว่า ความชันของเส้นตรง คือ $2\sqrt{2}$

หมายเหตุ: คอนเซปต์หลัก ๆ คือ การหาความชันในสองรูปแบบ คือ จากเงื่อนไขการสัมผัส (ดิฟ) และ สมการเส้นตรง ($\frac{\triangle y}{\triangle x}$) และจับสองค่านี้มาเท่ากัน

[NaPrai]

21. ขั้นตอนแรก จะต้องหาให้ได้ก่อนว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมเป็นเท่าไร โดยอาจจะติดในรูปของตัวแปรบางอย่างไว้ แล้วจึงหาค่ามากสุด

ให้ $(x,y)$ เป็นหนึ่งมุมของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่อยู่บนพาราโบลา $y^2=4cx$ โดย $y=a\in \mathbb{R^+}$ เพราะฉะนั้น $x=\frac{a^2}{4c}$
ดังนั้น มุมทั้งสีี่บนสี่เหลี่ยม คือ $(\frac{a^2}{4c},a), (\frac{a^2}{4c},-a), (c,-a), (c,a)$
จะได้ว่า สี่เหลี่ยมมุมฉาก มีความกว้าง และความยาวเท่ากับ $2a$ และ $c-\frac{a^2}{4c}$
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้คือ $2a(c-\frac{a^2}{4c})=\boxed{2ac-\frac{a^3}{2c}=f(a)}$
จากค่าสูงสุด ต่ำสุดสัมพัทธ์สามารถหาได้จากค่าวิกฤติของพื้นที่ นั่นคือ $f'(a)=2c-\frac{3a^2}{2c}=0$ จะได้ ค่าวิกฤติคือ $a=\frac{2c}{\sqrt{3}}$
ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มากสุด คือ $2ac-\frac{a^3}{2c}=\frac{8c^2}{3\sqrt3}$

[NaPrai]

33.
จากสมการดิฟทั้งสองข้างของสมการ จากฝั่งซ้ายของสมการ
\begin{align*}\frac{\partial \ g(x^n+2x)}{\partial x}&=\frac{\partial \ g(x^n+2x)}{\partial (x^n+2x)}\cdot\frac{\partial(x^n+2x)}{\partial x}\\&=(nx^{n-1}+2)g'(x^n+2x)\end{align*}
ดังนั้น จะได้ว่า $(nx^{n-1}+2)g'(x^n+2x)=12x^2+12x$
แทน $x=1$ จะได้ $(n+2)g'(3)=24$ จาก $g'(3)=3$ จะได้ไม่ยากว่า $n=6$

[NaPrai]

38.
ฟังก์ชันจะมีลิมิต ก็ต่อเมื่อ ลิมิตจากฝั่งซ้ายและฝั่งขวาเท่ากัน นั่นคือ
\begin{align*}\lim_{x \to 1^-}g(x)=\lim_{x \to 1^+}g(x)\end{align*}
นั่นคือ $f'(1)=f(1)\Rightarrow \boxed{3a-8=a-3}\Rightarrow\boxed{a=\frac{5}{2}}$

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณมากค่าาาาาา