เอกลักษณ์ตรีโกณที่น่าสนใจ

[Amankris]

1). จงหาค่าของ $\arctan(\sin5^\circ+\sin10^\circ+\sin15^\circ+\cdots+\sin175^\circ)$

2). จงหาค่าของ $\arctan(\sin10^\circ+\sin20^\circ+\sin30^\circ+\cdots+\sin170^\circ)$

3). จงหาค่าของ $\arctan(\sin12^\circ+\sin24^\circ+\sin36^\circ+\cdots+\sin168^\circ)$

4). จงหาค่าของ $\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\cos k^\circ}{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\sin k^\circ}-\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\sin k^\circ}{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\cos k^\circ}$

5). จงหาค่าของ $\tan18^\circ(\sin36^\circ+\sin72^\circ)$

6). จงหาค่าของ $\sin20^\circ+\sin40^\circ+\sin80^\circ-\dfrac{1}{2}\cot10^\circ$

7). จงหาค่าของ $\dfrac{\sin18^\circ+\sin36^\circ+\sin54^\circ+\sin72^\circ}{\cot9^\circ-1}$

[Amankris]

ดูโจทย์ #1 แล้ว หลายๆข้อน่าจะเคยผ่านตากันมาบ้างแล้ว

เห็นแล้วรู้สึกว่า การใช้เพียงเอกลักษณ์ตรีโกณพื้นฐานคงทำได้ไม่ง่ายนัก

ขอเสนอเอกลักษณ์ ที่จะช่วยให้ทำโจทย์ด้านบนได้ง่ายกว่าที่เคย

คลิกเบาๆ

$\sin\theta+\sin2\theta+\sin3\theta+\cdots+\sin n\theta=\dfrac{\sin\dfrac{n\theta}{2}\cdot\sin\dfrac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}$

$\cos\theta+\cos2\theta+\cos3\theta+\cdots+\cos n\theta=\dfrac{\sin\dfrac{n\theta}{2}\cdot\cos\dfrac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}$

ผมเริ่มเห็นโจทย์ลักษณะนี้ในการสอบมากขึ้น หวังว่าคงจะเป็นประโยชน์บ้างนะครับ

ปล. พิสูจน์เอกลักษณ์นี้ได้โดยจำนวนเชิงซ้อนนะครับ

[monster99]

รบกวนคุณ Amankris พิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ (อยากเห็นวิธีการพิสูจน์โดยใช้จำนวนเชิงซ้อนครับ)

[PP_nine]

ใช้เอกลักษณ์ของออยเลอร์ที่ว่า $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ ที่เหลือก็ใช้อนุกรมเรขาคณิตแก้นิดหน่อย

hint

$$\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})$$$$\sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$$

[LightLucifer]

กด Like เลยครับ

ข้อสอบ PAT ชอบออกแนวนี้ด้วย

[teamman]

ขอบคุณมากครับมีประโยชน์มากเลย

[LightLucifer]

เอกลักษณ์ใน #2 มีอีกวิธีในการพิสูจน์ครับ
ลองเอาตัวเศษย้ายขึ้นไปคูณแล้วจัดรูปดีๆแล้วใช้ telescoping