โจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ปี 49 คิดไม่ออก 2 ข้อครับ

[HIGG BOZON]

ใครคิดได้ช่วยคิดทีครับ...ขอวิธีคิดด้วยน้าคร้าบ...ขอบคุณล่วงหน้าครับ
1. กำหนดให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนเต็ม 5 จำนวน ซึ่งผลบวกของแต่ละคู่ของจำนวนในเซตนี้คือ
$0,6,11,12,17,20,23,26,32$ และ $37$ จงเขียนเซต $A$ แบบแจกแจงสมาชิก
2. ในงานรับน้องมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง น้องใหม่ถูกสั่งให้ไปสัมภาษณ์รุ่นพี่กลุ่มหนึ่งซึ่งมีอยู่ $5$ คน และพี่แต่ละคนพูดจริงเสมอหรือพูดเท็จเสมอ เมื่อจบการสัมภาษณ์ น้องใหม่ชื่อสมชายจึงถามว่า "ในกลุ่มพี่มีกี่คนที่พูดจริง"
พี่คนที่หนึ่งตอบว่า "ในกลุ่มเรามี $3$ คน พูดจริง"
พี่คนที่สองตอบว่า "ใช่เลย ในกลุ่มเรามี $3$ คน พูดจริง"
พี่คนที่สามแย้งว่า "ในกลุ่มเรามีเพียง $2$ คนเท่านั้นที่พูดจริง"
พี่คนที่สี่สวนขึ้นทันทีว่า "ทั้ง $3$ คนนั้นกำลังโกหก"
คำตอบของพี่คนที่ห้า ทำให้สมชายทราบคำตอบว่ามีพี่กี่คนพูดจริง
ในบรรดารุ่นพี่ทั้งห้าคนนี้ มีคนที่พูดจริงกี่คน

[{ChelseA}]

ข้อ 1 นะครับ ให้ จำนวนเต็มห้าจำนวนนี้เป็น a,b,c,d,e

จะได้ว่า (a+b)+(a+c)+(a+d)+(a+e)+(b+c)+(b+d)+(b+e)+(c+d)+(c+e)+(d+e)= 0+6+11+12+17+20+23+26+32+37

4(a+b+c+d+e)=184:

a+b+c+d+e=46 -----------1

(a+b)+(c+d)=0+26 -----------2

นำสมการที่1-2จะได้ e=20

ทำเหมือนข้างก็น่าจะได้คำตอบครับ

[fOrgetfuL`]

ข้อ 2

พิจารณา คำพูดพี่คนที่สี่ "ทั้ง 3 คนนั้นกำลังโกหก"

- ถ้าคำพูดนี้เป็นจริง แล้ว
กรณีที่1 1คนที่เหลือพูดจริง > พี่คนที่1,2,3,5 เป็นคนโกหก
กรณีที่2 2คนที่เหลือพูดจริง > เป็นไปไม่ได้เพราะขัดกับพี่คนที่3 เพราะฉะนั้นตัดกรณีนี้ทิ้ง

- ถ้าคำพูดนี้เป็นเท็จ แล้ว
กรณีที่1 พี่คนที่1พูดจริง > พี่คนที่2ก็ต้องพูดจริง พี่คนที่3โกหกแน่นอน พี่คนที่5ต้องพูดจริง
กรณีที่2 พี่คนที่3พูดจริง > พี่คนที่1กับ2โกหก พี่คนที่5ต้องพูดจริง

จะแยกได้เป็น3แบบ
แบบที่1 พี่คนที่1 โกหก, พี่คนที่2 โกหก, พี่คนที่3 โกหก, พี่คนที่4 พูดจริง, พี่คนที่5 โกหก
แบบที่2 พี่คนที่1 พูดจริง, พี่คนที่2 พูดจริง, พี่คนที่3 โกหก, พี่คนที่4 โกหก, พี่คนที่5 พูดจริง
แบบที่3 พี่คนที่1 โกหก, พี่คนที่2 โกหก, พี่คนที่3 พูดจริง, พี่คนที่4 โกหก, พี่คนที่5 พูดจริง

แต่จากโจทย์ที่บอกว่า"คำตอบของพี่คนที่ห้า ทำให้สมชายทราบคำตอบว่ามีพี่กี่คนพูดจริง"
ถ้าคนที่5 พูดจริง จะไม่ทราบคำตอบ (เพราะมี2แบบที่คนที่5 พูดจริง)

ดังนั้น คนที่5พูดโกหกแน่นอน จะมีคนที่พูดจริงเพียง 1 คนเท่านั้น คือ พี่คนที่4


Q.E.D. ซึ่งต้องพิสูจน์ครับ

ปล.ผิดพลาดตรงไหน ช่วยบอกด้วยครับ
ผมยังงงๆวิธีตัวเองอยู่นิดๆ = =

[HIGG BOZON]

ข้อที่ 1 ผมลองทำตามคุณ {ChelseA} แล้วครับ กระบวนการเริ่มต้นถูกต้องแล้วอ่าครับ แต่ถ้าทำต่อไป...คือค่อยๆหาค่าตัวแปร $a,b,c,d,e$ ไปทีละตัวๆ ตามวิธีนั้นมันจะได้ค่าตัวแปรที่ไม่ถูกต้องน่ะครับ (คือไม่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์)
ทีแรกผมก็สงสัยว่าทำไมถึงไม่ได้....ตอนนี้ผมว่ามันน่าจะผิดตรงเรื่องลำดับของตัวแปรนะครับ....คือตรงวิธีทำคุณ {ChelseA} ในสมการที่สองที่ว่า $(a+b)+(c+d)=0+26$ ผมว่ามันไม่ถูกต้องน่ะครับ เพราะลำดับตัวแปรในสมการตั้งต้นอาจจะไม่ได้เรียงกับลำดับผลบวกแต่ละคู่น่ะครับ เช่น ค่า $26$ ไม่จำเป็นต้องเป็น $c+d$ ก็ได้นี่ครับ ถ้ามันเกิดเป็นผลบวกที่เกิดจากตัวแปร $a$ ไปบวกกับอีกตัวแปร(ซึ่งก็อาจเป็นไปได้) คำตอบเราก็จะผิดทันทีครับ

ข้อที่ 2 วิธีคิดของคุณ fOrgetfuL จนถึงสุดท้ายที่แบ่งเป็น 3 กรณี ถูกต้องนะครับ แต่ที่สรุปว่าคนที่ 5 ต้องพูดโกหกแน่นอน...ผมว่ายังไม่สมเหตุสมผลตามโจทย์นะครับ ลองนึกถึงความเป็นจริงสิครับ โจทย์บอกว่าคำตอบของคนที่ 5 ทำให้สมชายทราบว่ามีพี่กี่คนพูดจริง....นั่นหมายถึงคำพูดที่คนที่ 5 พูดทำให้ทราบ...จริงอยู่ถ้าคนที่ 5 พูดจริงมันจะยังมี 2 กรณี...แต่สมชายจะรู้ได้ไงล่ะครับว่าคำพูดคนที่ 5 นั้นจริงหรือโกหก...โจทย์บอกว่าสมชายรู้จากคำพูดคนที่ 5 ...ไม่ใชรู้จากค่าความจริงของคำพูดคนที่ 5 ว่าจริงหรือเท็จนะครับ
(หรือผมคิดมากไปรึปล่าว??? แต่ถ้านึกถึงหลักตรรกศาสตร์...ผมว่ามันยังไม่สมเหตุสมผลที่สรุปแบบนั้นอ่าครับ)

[{ChelseA}]

โดยกำหนดให้ a<b<c<d<e
แหม่ดันลืมซะได้

[not11]

ข้อ1 ออกแล้วครับ มั่วๆดันได้

1. กำหนดให้ A เป็นเซตของจำนวนเต็ม 5 จำนวน ซึ่งผลบวกของแต่ละคู่ของจำนวนในเซตนี้คือ
0,6,11,12,17,20,23,26,32 และ 37 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก

จากโจทย์กำหนดเซต A ก็ทำตามโจทย์ครับ

ให้ $A = \left[\, a,b,c,d,e \right] $ ** โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก **

ทำเหมือนกับคุณ {ChelseA}ครับ
จะได้ (a+b)+(a+c)+(a+d)+(a+e)+(b+c)+(b+d)+(b+e)+(c+d)+(c+e)+(d+e)= 0+6+11+12+17+20+23+26+32+37

$4(a+b+c+d+e)=184$
$a+b+c+d+e=46$

โจทย์ฺกำหนดผลบวกแต่ละคู่มา $ 0,6,11,12,17,20,23,26,32 และ 37$

พิจารณาเลข 0 สมมติเท่ากับ m + n จะแบ่งได้2กรณีคือ

$m=n=0$
ถ้า$a=b=0 $จะได้ $A = \left[\, 0,0,c,d,e \right] $
พบว่าจะมีคู่ที่ผลบวกเท่ากัน เช่น$ c+a = c+b = c+0 = c$
แต่$ 0,6,11,12,17,20,23,26,32 และ 37$ ไม่มีค่าใดเท่ากัน
$\therefore เป็นไปไม่ได้ $

หรือ
$m=-n$
$\therefore เป็นไปได้เพียงกรณีเดียว$

และสองค่านั้นต้องเป็น $a,b$ เท่านั้น (น้อยสุด)
เพราะถ้ามี m เป็นค่าระหว่างกลาง จะเป็น
$ b - m \succ 0$
$\therefore m - b \prec 0$
แต่$ b = -a $
$\therefore m + a \prec 0$
นั่นคือผลบวกเป็นลบ ไม่สอดคล้องกับโจทย์


พิจารณาเลข 37 ต้องเป็นผลบวกของค่าที่มากที่สุด $2$ตัวคือ $d,e$
$\therefore d+e=37$

ตอนนี้จะได้ $A = \left[\, -b,b,c,d,e \right] $ ** โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก **


พิจารณาเลข 6 ต้องเป็นผลบวกของค่า c กับ a เท่านั้นเพราะผลบวกน้อยสุดรองจาก0
$\therefore c+a=6 $
$นั่นคือ c-b=6 หรือ c=b+6$

ลองดูผลบวกของ c กับ b
$c+b=(b+6)+b=2b+6=2(b+3) เป็นเลขคู่$

$ผลบวกน้อยที่สุดที่เป็นเลขคู่ และยังไม่ได้ใช้คือ 12$
$\therefore c+b=12 $
$และจากข้างบน c-b=6 $
$แก้สมการจะได้ c=9,b=-3 แล้วจะได้ a=-b=3 ด้วย$

ตอนนี้จะได้ $A = \left[\, -3,3,9,d,e \right] $ ** โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก **

ผลบวกที่ยังเหลือคือ $ \not0 ,\not6,11,\not12,17,20,23,26,32 และ \not37$

พิจารณาเลข 11 ต้องเกิดจาก d + a เท่านั้น
$d + a =11$
$d-3=11$
$d=14$

และจาก $d+e=37$
$e=23$

จับบวกกันเป็นคู่ๆ ก็สอดคล้องกับโจทย์

$ \therefore A = \left[\, -3,3,9,14,23 \right] $

[watzabaคณิm(โกหกอะ มั้ง!)]

ข้อ 2 อะครับ ผมว่า น่าจะมีคนที่พูดถูก 2 คนนะครับ
คนที่ 3 กับคนที่ 4 อะึครับ ถ้าผิดก็ขอโทษด้วยนะครับ