ฝึกอินทิเกรตกัน

[Ne[S]zA]

$$x^2=\sin^2\theta,\sqrt{1-x^2}=\cos \theta , dx=\cos \theta d\theta$$
$$\sin^2\theta \cos^2\theta=\frac{1}{4}(1-\cos 2\theta)(1+\cos 2\theta)$$
$$=\frac{1}{4}(1-\cos^22\theta)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}[\frac{1}{2}(1+\cos 4\theta)]$$
$$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}(1+\cos 4\theta )$$
ผมจัดรูปงี้อ่ะครับ
ปล.ทำงานก่อนนะครับว่างๆมาใหม่

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$$x^2=\sin^2\theta,\sqrt{1-x^2}=\cos \theta , dx=\cos \theta d\theta$$
$$\sin^2\theta \cos^2\theta=\frac{1}{4}(1-\cos 2\theta)(1+\cos 2\theta)$$
$$=\frac{1}{4}(1-\cos^22\theta)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}[\frac{1}{2}(1+\cos 4\theta)]$$
$$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}(1+\cos 4\theta )$$
ผมจัดรูปงี้อ่ะครับ
ปล.ทำงานก่อนนะครับว่างๆมาใหม่

ผมหมายถึงตรงนี้นะครับ
$$=\frac{\theta }{4}-\frac{1}{8}(\theta + \frac{\sin (4\theta)}{4})+c$$
ตรงค่าของ
$$\sin(4\theta)$$
น่าจะจัดรูปดังข้อความของผมก่อหน้านี้นะครับหรือยังไงช่วยดูด้วยนะครับ

[Ne[S]zA]

เหอๆๆ ผมเกรงว่าถ้าจัดแบบนั้น แล้วมันจะมั่วอ่ะครับก็เลยทำแค่นั้นครับ อิอิ ผมว่าน่าจะได้นะครับ

[Ne[S]zA]

มาเพิ่มให้ครับ บอร์ดนี้มาแรงมากอิอิ
$\int \frac{dx}{2-\cos x}$
$\int \sin \sqrt{x} dx$
$\int \frac{dx}{x\sqrt{3x^2+2x-1}}$
$\int \frac{(e^x-2)e^x}{e^x+1} dx$
$\int \frac{\sin x \cos x}{1-\cos x} dx$
$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}}$
$\int \sqrt{1+\sqrt{x}} dx$
$\int \frac{dx}{3(1-x^2)-(5+4x)\sqrt{1-x^2}} $
$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx$
$\int e^{3x}x^2\sin x dx$
ปล.ผมจะกลับมาอีกทีวันที่26นะครับ พอดีไปเข้าค่ายที่นครปฐมอิอิ แล้วเจอกันใหม่ครับ บายครับทุกท่าน
สนุกสนานกับโจย์ครับอิอิ

[Lekkoksung]

ขอข้อเเรกก่อนเลยน่ะครับ
$1)$ $\int {\frac{{dx}}{{1 - \cos x}}} $
พิจาราณา
\[
\frac{1}{{1 - \cos x}} = \frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos ^2 x}} = \frac{{1 + \cos x}}{{\sin ^2 x}} = \csc ^2 x + \frac{{\cos x}}{{\sin ^2 x}}
\]
จากโจทย์
$$\int {\frac{{dx}}{{1 - \cos x}}}=\int {\left( {\csc ^2 x + \frac{{\cos x}}{{\sin ^2 x}}} \right)} dx = \int {\csc ^2 xdx + \int {\frac{{\cos x}}{{\sin ^2 x}}dx} }$$
พิจารณา $\int \csc ^2 xdx=-\cot x+c_{1}$
พิจารณา $\int \frac{\cos x}{\sin ^2 x}dx$
ให้ $u=\sin x$ $du= \cos x dx$
จะได้
$$\int \frac{\cos x}{\sin ^2 x}dx= \int \frac{du}{u^{2}}= - \frac{1}{u}+c_{2}$$
แทนค่ากลับ
\[
\int {\frac{{\cos x}}{{\sin ^2 x}}} dx = - \frac{1}{{\sin x}} + c_2 =- \csc x + c_2
\]
สรุป
\[
\int {\frac{{dx}}{{1 - \cos x}} = - \left( {\cot x + \csc x} \right) + c_1 + c_2 } = - \left( {\cot x + \csc x} \right) + C
\]
เมื่อ $c_{1}+c_{2}=C$

ยังไงช่วยตรวจดูหน่อยน่ะครับ ไม่ชัวเลย

[kheerae]

$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx$$

$u = \sec x$

$\frac{1}{u\tan x}du = dx$

$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx = \int \tan x \sqrt{u} \frac{1}{u\tan x}du$$
$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx = \int \frac{\sqrt{u}}{u}du$$
$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}du$$
$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx = 2\sqrt{u} + C$$
$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx = 2\sqrt{\sec x} + C$$

เลือกข้อหมูๆทำก่อน แต่ไม่รู้จะตกม้าตายหรือป่าวอะครับ 555+

[kheerae]

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}}$$
$x = 2\tan\theta$
$dx = 2\sec^{2}\theta d\theta$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{\sec^{2}\theta}{\tan^{2}\theta\sqrt{4+4tan^{2}\theta}}d\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{\sec\theta}{2\tan^{2}\theta}d\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{\cos\theta}{2\sin^{2}\theta}d\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{1}{2\sin^{2}\theta}d\sin\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \frac{-\csc\theta}{2} +C$$
$\csc\theta = \frac{\sqrt{4+x^2}}{x}$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{2x} +C$$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kheerae

$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx$$

$$\int \tan x \sqrt{\sec x} dx = -2\sqrt{\sec x} + C$$

เลือกข้อหมูๆทำก่อน แต่ไม่รู้จะตกม้าตายหรือป่าวอะครับ 555+

คำตอบไม่มีลบคับ $2\sqrt{secx}+C$

[JamesCoe#18]

บอร์ดเงียบเหงาจังเลยไม่มีคนมาเล่นด้วยเลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kheerae

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}}$$
$x = \tan\theta$
$dx = \sec^{2}\theta d\theta$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{\sec^{2}\theta}{\tan^{2}\theta\sqrt{1+tan^{2}\theta}}d\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{\sec\theta}{\tan^{2}\theta}d\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}d\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = \int \frac{1}{\sin^{2}\theta}d\sin\theta$$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = -\csc\theta +C$$
$\csc\theta = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$
$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} +C$$

มีตัวเลขหายไประหว่างทางครับ ตอนแทนค่าต้องมี $2$ โผล่มาด้วย

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

$\int\frac{2x+7}{x^2+x+1}dx$

Solution:

\[
\int {\frac{{2x + 7}}{{x^2 + x + 1}}dx = \int {\frac{{2x + 1}}{{x^2 + x + 1}}} } dx + \int {\frac{6}{{x^2 + x + 1}}dx}
\]
\[
= \int {\frac{{d\left( {x^2 + x + 1} \right)}}{{x^2 + x + 1}}} + 6\int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 }} = \ln \left| {x^2 + x + 1} \right|} + 4\sqrt 3 \arctan \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) + c
\]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

$\int\frac{dx}{5+3sinx+5cosx}$ Hint ให้ $U=tan\frac{x}{2}$ ปล.ข้อนี้โหดมาก ^^ เอามาจาก Thomas'Cal

Solution:

ให้ \[
u = \tan \frac{x}{2}
\]
จะได้ \[
\sin x = \frac{{2u}}{{1 + u^2 }}
\]
และ\[
\cos x = \frac{{1 - u^2 }}{{1 + u^2 }}
\]
แทนค่าจะได้\[
\int {\frac{{dx}}{{5 + 3\sin x + 5\cos x}}} = \int {\frac{{du}}{{3u + 5}} = \frac{1}{3}\int {\frac{{d\left( {3u + 5} \right)}}{{3u + 5}}} } = \frac{1}{3}\ln \left| {3u + 5} \right| + c = \frac{1}{3}\ln \left| {3\tan \frac{x}{2} + 5} \right| + c
\]

ปล.ผมว่าน่าจะมีบอกด้วยนะครับว่าข้อไหนที่ทำไปแล้ว ?

[Ne[S]zA]

$$\int \sqrt{1+\sqrt{x}} dx $$
ให้ $u=1+\sqrt{x}$ ดังนั้น $dx=2\sqrt{x}du$
ได้
$$\int \sqrt{u}\cdot 2\sqrt{x} du=2\int \sqrt{u}(u-1) du$$
$$=2(\frac{2u^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3})+c$$
$$=2(\frac{2(1+\sqrt{x})^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{2(1+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}{3})+c$$
ช่วยตรวจด้วยนะครับ
ปล.ข้อที่โพสไปผมก็ยังทำไม่ได้อ่ะครับเหอๆ

[Ne[S]zA]

$$\int \frac{e^x(e^x-2)}{e^x+1} dx$$
ให้ $u=e^x+1$ ดังนั้น $dx=\frac{du}{e^x}$
$$\int \frac{e^x(u-3)}{u} \cdot \frac{du}{e^x}$$
$$=\int \frac{u-3}{u} du= \int du-3\int \frac{1}{u} du$$
$$=u-3\ln |u| +c=e^x+1-3\ln |e^x+1|+c$$

[Ne[S]zA]

$$\int \frac{\sin x \cos x}{1-\cos x} dx$$
$$=\int \frac{\sin x \cos x(1+\cos x)}{1-\cos^2x} dx=\int \frac{\sin x \cos x(1+\cos x)}{\sin^2x} dx$$
$$=\int \frac{\cos x+\cos^2x}{\sin x} dx=\int \cot x + \csc x - \sin x dx$$
$$=\ln |\sin x| + \ln |\csc x-\cot x| +\cos x +c$$
$$=\ln |1-\cos x| +\cos x +c$$
ไม่แน่ใจอ่ะครับช่วยตรวจหน่อยนะครับ

[Ne[S]zA]

ช่วยแสดงวิธีทำข้อนี้หน่อยครับ
$$\int e^{3x}x^2 \sin x dx$$
ขอบคุณครับ